محاسبه تقریبی؛ استفاده از اعداد تقریبی به‌جای مقادیر دقیق برای سرعت بیشتر در حل مسائل

هنر و علم محاسبه تقریبی: سرعت و سادگی در حل مسائل

تقریب زدن چیست و چرا به آن نیاز داریم؟

تصور کنید می‌خواهید برای یک مهمانی 37 بسته شیرینی بخرید و قیمت هر بسته 9,850 تومان است. محاسبه دقیق هزینه کل، نیازمند ضرب دو عدد نسبتاً بزرگ است. اما اگر فقط بخواهید بدانید حدوداً چقدر پول لازم دارید، می‌توانید بگویید: «قریب‌به‌اتفاق 40 بسته در حدود 10,000 تومان، می‌شود حدود 400,000 تومان». این کار، یک محاسبه تقریبی^[۱] است.

هدف اصلی از تقریب زدن، ساده‌سازی و سرعت بخشیدن به محاسبات است، بدون آنکه نتیجه نهایی از حقیقت فاصله زیادی داشته باشد. این روش زمانی بسیار مفید است که:

• نیاز به یک پاسخ فوری و سریع دارید (مثل تخمین زمان رسیدن به مقصد).
• داده‌های دقیق در دسترس نیستند.
• نیاز به درک کلی از بزرگی یا کوچکی یک مقدار دارید (مثل مقایسه جمعیت دو شهر).

ابزارهای اصلی محاسبه تقریبی: گرد کردن و برآورد

دو تکنیک اساسی برای انجام محاسبات تقریبی وجود دارد: گرد کردن^[۳] و برآورد^[۴].

گرد کردن اعداد

گرد کردن یعنی جایگزین کردن یک عدد با نزدیک‌ترین مضرب از ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و غیره. قانون کلی به این صورت است:

• به رقم سمت راست محل گرد کردن نگاه کنید (مثلاً برای گرد کردن به ده‌تایی، به رقم یکان نگاه می‌کنیم).
• اگر این رقم 5, 6, 7, 8, 9 بود، رقم محل گرد کردن را یک واحد افزایش می‌دهیم.
• اگر این رقم 0, 1, 2, 3, 4 بود، رقم محل گرد کردن را تغییر نمی‌دهیم.
• در نهایت، تمام ارقام سمت راست محل گرد کردن را صفر می‌کنیم.

برآورد کردن

برآورد، یک گام فراتر از گرد کردن ساده است. در برآورد، ما از اعداد «دوست‌داشتنی» یا «ساده» استفاده می‌کنیم که محاسبه با آن‌ها بسیار راحت است. مثلاً اعدادی مانند 10, 25, 50, 100, 1000. فرض کنید می‌خواهید حاصل 48 × 23 را سریعاً برآورد کنید.

1. هر دو عدد را گرد کنید: 48 ≈ 50 و 23 ≈ 25.
2. حالا ضرب ساده‌تری انجام دهید: 50 × 25 = 1,250.

حاصل دقیق این ضرب 1,104 است. می‌بینید که برآورد ما (1,250) اگرچه دقیق نیست، اما به ما می‌گوید که جواب در حدود 1,100 است و این برای بسیاری از تصمیم‌گیری‌ها کافی است.

محاسبه تقریبی در عمل: از خرید تا نجوم

این تکنیک فقط محدود به کلاس ریاضی نیست. در زندگی روزمره و علوم مختلف دائماً از آن استفاده می‌کنیم.

خرید و مدیریت مالی

وقتی برای خرید به سوپرمارکت می‌روید، معمولاً قیمت اجناس را در ذهن خود گرد می‌کنید تا مطمئن شوید پول کافی همراه دارید. اگر قیمت یک19,900 تومان باشد، شما آن را حدود 20,000 تومان در نظر می‌گیرید. این کار به شما کمک می‌کند به سرعت جمع کل سبد خرید خود را برآورد کنید.

سفر و برنامه‌ریزی

برای تخمین زمان رسیدن به مقصد، مسافت را بر سرعت متوسط تقسیم می‌کنیم. اگر مسافت 293 کیلومتر باشد و سرعت متوسط شما 95 کیلومتر بر ساعت، محاسبه دقیق زمان سخت است. اما با تقریب می‌گوییم: 300 ÷ 100 = 3. پس حدود 3 ساعت در راه خواهیم بود. محاسبه دقیق حدود 3.08 ساعت است که تقریب ما را تأیید می‌کند.

علوم و مهندسی

در فیزیک و شیمی، بسیاری از ثابت‌ها مانند عدد پی ($\pi$) یا ثابت جهانی گازها ($R$) دارای ارقام اعشاری بسیار زیادی هستند. برای ساده‌سازی محاسبات، دانشمندان از مقادیر تقریبی آن‌ها استفاده می‌کنند. مثلاً عدد پی را اغلب 3.14 یا حتی 3 در نظر می‌گیرند. مساحت یک دایره به شعاع 5 سانتی‌متر را می‌توان به صورت تقریبی محاسبه کرد:

محاسبه دقیق: $A = \pi r^2 = 3.14159... \times 5^2 \approx 78.54$

محاسبه تقریبی: $A \approx 3 \times 25 = 75$

همانطور که می‌بینید، پاسخ تقریبی (75) به پاسخ دقیق (78.54) بسیار نزدیک است و برای بسیاری از اهداف عملی کفایت می‌کند.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

در این مقاله از برخی اصطلاحات تخصصی استفاده شد که معادل انگلیسی و تعریف مختصر آن‌ها در زیر آمده است:

^[۱]محاسبه تقریبی (Approximate Calculation): به روشی برای یافتن پاسخ یک مسئله ریاضی گفته می‌شود که دقیق نیست اما به اندازه کافی به پاسخ واقعی نزدیک است.

^[۲]خطای مجاز (Allowable Error): مقداری از اختلاف بین پاسخ تقریبی و پاسخ دقیق که قابل قبول در نظر گرفته می‌شود.

^[۳]گرد کردن (Rounding): فرآیند کاهش ارقام یک عدد برای ساده‌سازی، در حالی که سعی می‌کرد ارزش آن را نزدیک به آنچه بود نگه دارد.

^[۴]برآورد (Estimation): پیدا کردن یک پاسخ نزدیک به پاسخ دقیق، اغلب با استفاده از گرد کردن و محاسبه ذهنی.

^[۵]عدد پی (Pi - π): یک ثابت ریاضی که نسبت محیط دایره به قطر آن را نشان می‌دهد. مقدار آن تقریباً برابر است با 3.14159.