تقریب اعشاری: زبان ساده‌ی اعداد در دنیای واقعی
اعداد اعشاری را بهتر بشناسیم
هر عدد اعشاری از دو بخش اصلی تشکیل شده است: بخش صحیح و بخش اعشاری. بخش اعشاری، اعدادی هستند که بعد از ممیز۳ می‌آیند و نشان‌دهنده‌ی کسری از یک واحد کامل هستند. برای مثال، در عدد ۱۲.۳۴۵۶، بخش صحیح ۱۲ و بخش اعشاری .۳۴۵۶ است. هر رقم در بخش اعشاری، ارزش مکانی خاص خود را دارد:
| عدد مثال | رقم | نام جایگاه | مقدار (کسر) |
|---|---|---|---|
| ۱۲.۳۴۵۶ | ۳ | دهم | ۳/۱۰ |
| ۴ | صدم | ۴/۱۰۰ | |
| ۵ | هزارم | ۵/۱۰۰۰ | |
| ۶ | ده‌هزارم | ۶/۱۰۰۰۰ |
گاهی اوقات، یک عدد اعشاری ممکن است بی‌نهایت رقم پس از ممیز داشته باشد (مانند حاصل تقسیم ۱ ÷ ۳ = ۰.۳۳۳۳...) یا تعداد ارقام آن آنقدر زیاد باشد که نوشتنش سخت باشد. اینجاست که به تقریب اعشاری نیاز پیدا می‌کنیم.
تفاوت بین کوتاه کردن و گرد کردن
دو روش اصلی برای ساده‌سازی اعداد اعشاری وجود دارد: کوتاه کردن۲ و گرد کردن۴. این دو روش با هم تفاوت دارند و انتخاب هرکدام بستگی به دقت مورد نیاز ما دارد.
گرد کردن (Rounding): در این روش، به رقم بعد از رقم مورد نظر نگاه می‌کنیم. اگر این رقم ۵ یا بیشتر باشد، رقم مورد نظر را یک واحد افزایش می‌دهیم. این روش دقیق‌تر است.
مثال: عدد ۲.۷۸۹ را در نظر بگیرید.
- کوتاه کردن به دو رقم اعشار: رقم سوم (۹) را نادیده می‌گیریم. نتیجه: ۲.۷۸
- گرد کردن به دو رقم اعشار: رقم سوم (۹) را می‌بینیم. چون ۵ یا بیشتر است، رقم دوم (۸) را یک واحد افزایش می‌دهیم: ۸ + ۱ = ۹. نتیجه: ۲.۷۹
چگونه یک عدد را کوتاه کنیم؟ (گام به گام)
فرض کنید می‌خواهیم عدد ۱۵.۸۳۶۴۲ را تا ۳ رقم اعشار کوتاه کنیم.
- ممیز و ارقام اعشاری را شناسایی کنید: عدد ما ۱۵.۸۳۶۴۲ است. ارقام اعشاری عبارتند از: ۸, ۳, ۶, ۴, ۲.
- رقم مورد نظر را پیدا کنید: از ما خواسته شده تا سه رقم اعشار را نگه داریم. پس به رقم سوم بعد از ممیز نگاه می‌کنیم که ۶ است.
- ارقام بعدی را حذف کنید: تمام ارقام بعد از رقم سوم (۴ و ۲) را حذف می‌کنیم.
- عدد نهایی را بنویسید: عدد کوتاه شده ما می‌شود: ۱۵.۸۳۶.
این کار را می‌توانیم برای هر تعداد رقم اعشاری انجام دهیم. کوتاه کردن به یک رقم اعشار از همان عدد می‌شود ۱۵.۸.
کاربردهای تقریب اعشاری در زندگی و علم
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارند، اما در واقعیت، همه‌ی ما هر روز از تقریب اعشاری استفاده می‌کنیم!
مثال ۱: خرید از سوپرمارکت. قیمت یک محصول ممکن است ۴۵,۹۹۹ تومان باشد. وقتی می‌گوییم "حدود ۴۶,۰۰۰ تومان"، در حال گرد کردن عدد به نزدیک‌ترین هزارتومان هستیم. این یک تقریب است که محاسبه‌ی ذهنی کل خرید را برایمان آسان‌تر می‌کند.
مثال ۲: پخت و پز. در یک دستور غذا ممکن است نوشته شده باشد ۱.۶۶۶ فنجان آرد. هیچ کس چنین مقدار دقیقی را اندازه نمی‌گیرد! ما آن را به ۱ و ۲/۳ (۱.۶۶۷) یا حتی ۱.۷ فنجان تقریب می‌زنیم. اینجا ممکن است از گرد کردن استفاده کنیم تا نتیجه‌ی بهتری داشته باشیم.
مثال ۳: گزارش‌های علمی. یک دانشمند ممکن است محاسبه کند که سرعت نور در یک ماده‌ی خاص ۲۲۴,６۳۲,۱５۸.۱۲۳۴۵۶ متر بر ثانیه است. اما برای گزارش نتیجه، آن را به ۲۲۴,۶۳۲,۱۵۸.۱۲ متر بر ثانیه (کوتاه کردن به دو رقم اعشار) یا ۲۲۴,۶۳۲,۱۵۸ متر بر ثانیه (کوتاه کردن به عدد صحیح) تقریب می‌زند. چون ارقام بعدی تأثیر بسیار ناچیزی دارند و خواندن عدد را سخت می‌کنند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله، در مورد اعداد مثبت اینطور است. از آنجا که در کوتاه کردن، ارقام را به سادگی حذف می‌کنیم، عدد نهایی همیشه از عدد اصلی کوچک‌تر یا حداکثر برابر با آن خواهد بود. اما در گرد کردن، بسته به رقم بعدی، عدد نهایی می‌تواند بزرگ‌تر یا کوچک‌تر از عدد اصلی باشد.
این بستگی به میزان دقت مورد نیاز شما دارد.
کوتاه کردن زمانی مناسب است که سرعت عمل برایتان مهم‌تر از دقت بالا باشد، یا وقتی که مطمئن هستید خطای ایجاد شده تأثیر چندانی بر نتیجه‌ی نهایی ندارد (مثل تخمین زدن هزینه‌ها).
گرد کردن زمانی بهتر است که بخواهید نتیجه‌ی دقیق‌تری داشته باشید و عدد نهایی تا حد امکان به مقدار واقعی نزدیک باشد (مثل محاسبات علمی یا مالی). در بیشتر موارد روزمره، مردم از گرد کردن استفاده می‌کنند زیرا منصفانه‌تر و دقیق‌تر است.
از نظر ارزش ریاضی، ۵.۲۰ و ۵.۲ کاملاً برابر هستند. اما در برخی موارد، نوشتن صفرهای آخر معنی دارد. اگر عدد ۵.۲۰ حاصل اندازه‌گیری باشد و دستگاه ما قادر به اندازه‌گیری تا صدم باشد، نوشتن آن صفر نشان‌دهنده‌ی دقت اندازه‌گیری۵ است. یعنی ما مطمئن هستیم رقم دهم ۲ است و رقم صدم ۰. اما اگر عدد حاصل یک محاسبه‌ی ساده باشد، معمولاً صفرهای آخر را نمی‌نویسند.
تقریب اعشاری و به‌ویژه کوتاه کردن، ابزاری قدرتمند برای ساده‌سازی اعداد و کاربردیشان در موقعیت‌های مختلف است. درک تفاوت آن با گرد کردن به ما کمک می‌کند تا بسته به نیازمان، روش مناسب را انتخاب کنیم. آیا می‌خواهید سریع یک تخمین بزنید؟ کوتاه کردن گزینه‌ی خوبی است. آیا به دقت بیشتری نیاز دارید؟ از گرد کردن استفاده کنید. مهم این است که بدانیم هر عددی که در زندگی روزمره می‌بینیم — از قیمت کالاها تا آمارهای ورزشی — احتمالاً نتیجه‌ی یک تقریب هوشمندانه است!
پاورقی
۱تقریب اعشاری (Decimal Approximation): به فرآیند ساده‌سازی یک عدد اعشاری با کاهش تعداد ارقام پس از ممیز گفته می‌شود.
۲کوتاه کردن (Truncation): یک روش تقریب که در آن ارقام اعشاری بعد از یک رقم مشخص، به سادگی حذف می‌شوند.
۳ممیز (Decimal Point): علامتی (مانند . یا ، بسته به کشور) که بخش صحیح یک عدد را از بخش اعشاری آن جدا می‌کند.
۴گرد کردن (Rounding): روشی برای تقریب زدن یک عدد که در آن با توجه به ارزش ارقام بعدی، عدد به نزدیک‌ترین مقدار گرد می‌شود.
۵دقت اندازه‌گیری (Measurement Precision): به میزان جزئیاتی که یک ابزار می‌تواند اندازه بگیرد اشاره دارد. نوشتن ارقام اعشاری بیشتر (حتی اگر صفر باشند) often نشان‌دهنده‌ی دقت بالاتر ابزار اندازه‌گیری است.