ضرب وسطین و طرفین: کلید حل معماهای تناسب
تناسب و نسبت: پایه‌های درک موضوع
قبل از پرداختن به روش ضرب وسطین و طرفین، باید با دو مفهوم بنیادی نسبت3 و تناسب2 آشنا شویم.
یک نسبت، مقایسهٔ کمی بین دو مقدار است. برای مثال، اگر در یک کلاس 10 پسر و 15 دختر وجود داشته باشد، نسبت پسران به دختران را می‌توان به صورت $10:15$ یا به صورت کسر $\frac{10}{15}$ نوشت.
یک تناسب، برابری بین دو نسبت است. به بیان ساده‌تر، وقتی دو نسبت یا کسر با هم برابر باشند، یک تناسب تشکیل می‌دهند. شکل کلی یک تناسب به این صورت است:
یا
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
در اینجا، $a$ و $d$طرفین4 و $b$ و $c$وسطین5 نامیده می‌شوند.
قانون طلایی: ضرب وسطین و طرفین
حال به اصل مطلب می‌رسیم. قانون ضرب وسطین و طرفین می‌گوید:
یعنی: $a \times d = b \times c$
این قانون به ما اجازه می‌دهد تا اگر سه مقدار از چهار مقدار موجود در یک تناسب را بدانیم، مقدار چهارم (مجهول) را به راحتی پیدا کنیم. این روش حل، ضرب متقاطع6 نیز نامیده می‌شود.
حل گام‌به‌گام مسائل با ضرب وسطین و طرفین
بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم. فرض کنید در تناسب زیر، مقدار $x$ مجهول است:
$\frac{3}{4} = \frac{x}{20}$
برای پیدا کردن $x$ مراحل زیر را طی می‌کنیم:
گام ۱: ضرب متقاطع می‌کنیم (طرفین را در هم و وسطین را در هم ضرب می‌کنیم).
$3 \times 20 = 4 \times x$
گام ۲: معادله‌ای که به دست آمده را ساده می‌کنیم.
$60 = 4x$
گام ۳: دو طرف معادله را بر عدد 4 تقسیم می‌کنیم تا $x$ به دست آید.
$\frac{60}{4} = \frac{4x}{4}$
$15 = x$
پس مقدار $x$ برابر 15 است.
| شرح مسئله | تناسب | اعمال ضرب متقاطع | نتیجه |
|---|---|---|---|
| اگر 5 بسته شکلات 15000 تومان باشد، قیمت 3 بسته چقدر است؟ | $\frac{5}{15000} = \frac{3}{x}$ | $5x = 15000 \times 3$ | x = 9000 تومان |
| نقشه‌ای با مقیاس 1:1000. فاصله دو نقطه روی نقشه 8 سانتی‌متر است. فاصله واقعی چقدر است؟ | $\frac{1}{1000} = \frac{8}{x}$ | $1x = 1000 \times 8$ | x = 8000 سانتی‌متر یا 80 متر |
| اگر 12 متر پارچه 360000 تومان باشد، قیمت 7 متر چقدر است؟ | $\frac{12}{360000} = \frac{7}{x}$ | $12x = 360000 \times 7$ | x = 210000 تومان |
کاربردهای ضرب وسطین و طرفین در دنیای واقعی
این مفهوم ریاضی، فقط محدود به کتاب‌های درسی نیست و کاربردهای فراوانی در زندگی روزمره دارد:
۱. محاسبهٔ قیمت و خرید: زمانی که قیمت یک عدد یا مقدار مشخصی از یک کالا را می‌دانید، به راحتی می‌توانید قیمت تعداد یا مقدار دیگری از آن را محاسبه کنید (مانند مثال جدول بالا).
۲. تهیهٔ غذا (دستور پخت): اگر یک دستور پخت برای 4 نفر باشد و شما بخواهید برای 6 نفر غذا تهیه کنید، باید مقدار همهٔ مواد اولیه را بر اساس تناسب افزایش دهید.
۳. نقشه‌خوانی و مقیاس: در نقشه‌کشی و خواندن نقشه، مقیاس یک تناسب است که رابطه بین اندازه روی نقشه و اندازه واقعی را نشان می‌دهد.
۴. محاسبهٔ درصد و تخفیف: درصدها در واقع نسبت‌هایی هستند که مخرج آن‌ها 100 است. برای مثال، محاسبه 20% تخفیف از یک قیمت 50000 تومانی: $\frac{20}{100} = \frac{x}{50000}$.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، اما فقط زمانی که مطمئن هستید دو نسبت واقعاً یک تناسب را تشکیل می‌دهند (یعنی با هم برابرند). اگر بین دو نسبت رابطهٔ تناسب برقرار نباشد، استفاده از این روش نتیجه‌ای اشتباه خواهد داد.
پاسخ: یکی از رایج‌ترین اشتباهات، جا به جا ضرب کردن است. باید دقت کنید که حتماً $a$ را در $d$ و $b$ را در $c$ ضرب کنید. ضرب $a$ در $c$ یا $b$ در $d$ نتیجه‌ای غلط می‌دهد.
پاسخ: روش ضرب وسطین و طرفین فقط زمانی کاربرد دارد که تنها یک مجهول در تناسب وجود داشته باشد. اگر بیش از یک مجهول وجود داشته باشد، نمی‌توان با این روش آن را حل کرد و به اطلاعات یا معادلات بیشتری نیاز است.
پاورقی
1 ضرب وسطین و طرفین (Cross Multiplication)
2 تناسب (Proportion)
3 نسبت (Ratio)
4 طرفین (Extremes)
5 وسطین (Means)
6 ضرب متقاطع (Cross Multiplication)