دوران: چرخش اشکال در صفحه
دوران چیست؟ تعریف پایه و مفاهیم اولیه
در زندگی روزمره، چرخش اجسام را زیاد می‌بینیم: چرخیدن عقربه‌های ساعت، چرخش یک توپ، یا چرخش زمین به دور خودش. در هندسه، به این نوع چرخش، دوران می‌گوییم. دوران یک تبدیل2 هندسی است که در آن هر نقطه از یک شکل، حول یک نقطهٔ ثابت به نام مرکز دوران، با زاویه‌ای مشخص می‌چرخد. مهم‌ترین ویژگی دوران این است که شکل و اندازهٔ جسم قبل و بعد از چرخش کاملاً یکسان باقی می‌ماند؛ فقط جهت و موقعیت آن تغییر می‌کند.
برای توصیف یک دوران، به سه چیز نیاز داریم:
1. مرکز دوران (Center of Rotation): نقطه‌ای ثابت که چرخش حول آن انجام می‌شود.
2. زاویهٔ دوران (Angle of Rotation): میزان چرخش که بر حسب درجه یا رادیان اندازه‌گیری می‌شود. جهت چرخش نیز مهم است (مثلاً ساعتگرد یا پادساعت‌گرد).
3. جهت دوران (Direction of Rotation): معمولاً جهت پادساعت‌گرد به عنوان جهت مثبت در نظر گرفته می‌شود.
چگونه مختصات یک نقطه پس از دوران را محاسبه کنیم؟
وقتی مرکز دوران مبدأ مختصات (0,0) باشد، می‌توانیم از فرمول‌های ریاضی برای پیدا کردن موقعیت جدید یک نقطه پس از چرخش استفاده کنیم. اگر نقطهٔ A(x, y) را به اندازهٔ زاویهٔ $\theta$ حول مبدأ مختصات بچرخانیم، مختصات نقطهٔ جدید A'(x', y') از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
این فرمول‌ها ممکن است در نگاه اول پیچیده به نظر برسند، اما با یک مثال ساده آن را بررسی می‌کنیم. فرض کنید نقطهٔ A(3, 0) روی محور xها قرار دارد. اگر این نقطه را 90 درجه در جهت پادساعت‌گرد بچرخانیم، به نقطهٔ A'(0, 3) روی محور yها منتقل می‌شود. حالا همین کار را با فرمول انجام می‌دهیم: $\cos 90^\circ = 0$ و $\sin 90^\circ = 1$. پس:
$x' = (3)(0) - (0)(1) = 0$
$y' = (3)(1) + (0)(0) = 3$
که با نتیجهٔ مورد انتظار مطابقت دارد.
انواع دوران و تقارن چرخشی در اشکال مختلف
همهٔ اشکال هندسی به یک اندازه تقارن چرخشی ندارند. تقارن چرخشی یک شکل، به تعداد دفعاتی گفته می‌شود که شکل در طول یک چرخش کامل (360^\circ) بر خودش منطبق می‌شود. به این تعداد، تعداد تقارن یا مرتبهٔ تقارن می‌گویند.
| شکل هندسی | مرتبه تقارن | زاویهٔ دوران برای انطباق |
|---|---|---|
| دایره | بی‌نهایت | هر زاویه‌ای |
| مربع | 4 | 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ |
| مثلث متساوی‌الاضلاع | 3 | 120^\circ, 240^\circ, 360^\circ |
| مستطیل (غیر مربع) | 2 | 180^\circ, 360^\circ |
همان‌طور که در جدول می‌بینید، یک دایره بالاترین درجهٔ تقارن چرخشی را دارد زیرا به اندازهٔ هر زاویه‌ای که بچرخد، باز هم بر خودش منطبق می‌شود. این مفهوم در طراحی چرخ‌ها، دنده‌ها و بسیاری از سازه‌های مهندسی بسیار مهم است.
دوران در دنیای واقعی: از چرخش الکترون تا چرخ‌وفلک شهربازی
مفهوم دوران فقط محدود به کتاب‌های درسی نیست؛ بلکه پایه و اساس بسیاری از پدیده‌های طبیعی و ساخته‌های دست بشر است. در مقیاس بسیار کوچک، الکترون‌ها به دور هستهٔ اتم می‌چرخند. در مقیاس متوسط، چرخیدن یک توپ بسکتبال روی انگشت بازیکن یا چرخیدن تیغه‌های یک پنکه را می‌بینیم. در مقیاس بسیار بزرگ، سیارات به دور خورشید می‌چرخند. همهٔ این‌ها نمونه‌هایی از دوران هستند.
مهندسان از این مفهوم برای طراحی وسایل مختلف استفاده می‌کنند. مثلاً در طراحی یک چرخ‌وفلک، هر کابین حول نقطهٔ مرکزی می‌چرخد. برای اینکه این چرخش ایمن و نرم باشد، باید مرکز دوران دقیقاً در مرکز هندسی سازه قرار گیرد و همهٔ کابین‌ها در فاصلهٔ یکسانی از آن باشند. اگر این‌گونه نباشد، چرخ‌وفلک تعادل خود را از دست می‌دهد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. مرکز دوران می‌تواند هر نقطه‌ای در صفحه باشد. اگر مرکز دوران مبدأ نباشد، محاسبات کمی پیچیده‌تر می‌شود. در این حالت، ابتدا باید مختصات را طوری جابه‌جا کنیم که مرکز دوران به مبدأ منتقل شود، سپس دوران را انجام دهیم و در نهایت مختصات را به حالت اول برگردانیم.
یک اشتباه رایج، گیج شدن بین جهت چرخش ساعتگرد و پادساعت‌گرد است. بسیاری از دانش‌آموزان به‌طور ناخودآگاه چرخش را در جهت اشتباه ترسیم می‌کنند. یک نکتهٔ مفید: جهت «پادساعت‌گرد» جهت عکس حرکت عقربه‌های ساعت است. برای یادآوری، به حرکت عقربه‌های ساعت نگاه کنید و سپس جهت مخالف آن را در نظر بگیرید.
بله، کاملاً متفاوت است. در انتقال، شکل بدون چرخش، به صورت مستقیم و موازی جابه‌جا می‌شود. در بازتاب، شکل مانند تصویر در آینه، برعکس می‌شود. اما در دوران، شکل حول یک نقطه می‌چرخد. این سه، تبدیل‌های هندسی اصلی هستند.
پاورقی
1 دوران (Rotation): چرخش یک شکل حول یک نقطهٔ ثابت.
2 تبدیل (Transformation): عملیاتی که موقعیت، اندازه یا شکل یک شکل هندسی را تغییر می‌دهد.
3 پیکسل (Pixel): کوچک‌ترین واحد تشکیل‌دهندهٔ یک تصویر دیجیتال.
4 انتقال (Translation): جابه‌جایی موازی یک شکل در صفحه.
5 بازتاب (Reflection): قرینه کردن یک شکل نسبت به یک خط (محور بازتاب).