تفریق اعشاری: از مفاهیم پایه تا مهارت‌های پیشرفته
اعداد اعشاری و ارزش مکانی آن‌ها
برای درک تفریق، ابتدا باید ساختار یک عدد اعشاری را بشناسیم. یک عدد اعشاری از دو بخش تشکیل شده است: بخش صحیح (سمت چپ ممیز) و بخش اعشاری (سمت راست ممیز). هر رقم در این عدد، بسته به موقعیتش، ارزش مکانی خاصی دارد.
| صدگان | دهگان | یکان | ممیز | دهم | صدم | هزارم |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ۴ | ۲ | ۷ | . | ۳ | ۰ | ۵ |
| 100 | 10 | 1 | - | 0.1 ($\frac{1}{10}$) | 0.01 ($\frac{1}{100}$) | 0.001 ($\frac{1}{1000}$) |
عدد 427.305 را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد: $(4 \times 100) + (2 \times 10) + (7 \times 1) + (3 \times 0.1) + (0 \times 0.01) + (5 \times 0.001)$ این درک از ارزش مکانی، کلید موفقیت در جمع و تفریق اعداد اعشاری است.
گام‌های اساسی تفریق اعشاری
تفریق اعداد اعشاری بسیار شبیه به تفریق اعداد طبیعی (بدون ممیز) است. تنها و مهم‌ترین تفاوت، تراز کردن صحیح ممیزها قبل از شروع عملیات است.
مثال ۱ (ساده): می‌خواهیم $7.5 - 4.2$ را حساب کنیم.
گام ۱: تراز کردن ممیزها
اعداد را طوری می‌نویسیم که ممیزهایشان در یک ستون عمودی قرار گیرند. اگر عددی رقم اعشاری کم‌تری دارد، می‌توان در سمت راست آن صفر اضافه کرد تا ستون‌ها کامل شوند.
$\begin{align*} &7.5\\ -&4.2\\ \hline \end{align*}$
گام ۲: تفریق از راست به چپ
مانند اعداد طبیعی، از سمت راست شروع به تفریق می‌کنیم.
$\begin{align*} &7.5\\ -&4.2\\ \hline &3.3 \end{align*}$
ابتدا بخش دهم: $5 - 2 = 3$. سپس بخش یکان: $7 - 4 = 3$.
گام ۳: قرار دادن ممیز در جواب
ممیز در جواب، دقیقاً در زیر ممیزهای بالا قرار می‌گیرد. بنابراین، پاسخ نهایی $3.3$ است.
تفریق با قرض گرفتن در بخش اعشاری
گاهی رقم در عدد بالا (مطروح‌منه) از رقم پایین (مفروض) کوچک‌تر است. در این حالت، باید از ستون سمت چپ قرض بگیریم.
مثال ۲ (قرض گرفتن): حاصل $5.32 - 2.78$ را بیابید.
گام ۱: تراز کردن و نوشتن اعداد
$\begin{align*} &5.32\\ -&2.78\\ \hline \end{align*}$
گام ۲: تفریق بخش صدم
در ستون صدم: $2 . پس از ستون دهم قرض می‌گیریم. اما رقم دهم $3$ است که خودش برای قرض دادن کوچک است. ابتدا از بخش یکان قرض می‌گیریم. از رقم یکان ($5$) یک واحد قرض می‌گیریم. این یک واحد برابر با $10$ دهم است. بنابراین، رقم یکان می‌شود $4$ و رقم دهم می‌شود $3 + 10 = 13$. حالا از رقم دهم ($13$) یک واحد قرض می‌گیریم. این یک واحد برابر با $10$ صدم است. بنابراین، رقم دهم می‌شود $12$ و رقم صدم می‌شود $2 + 10 = 12$. حالا می‌توانیم تفریق کنیم:
$\begin{align*} &4\ \overset{12}{1}\overset{12}{2}\\ -&2.7\ 8\\ \hline &2.5\ 4 \end{align*}$
صدم: $12 - 8 = 4$
دهم: $12 - 7 = 5$
یکان: $4 - 2 = 2$
پاسخ نهایی: $2.54$
تفریق اعداد با ارقام اعشاری نامساوی
اگر تعداد ارقام اعشاری دو عدد برابر نباشد، برای جلوگیری از اشتباه، باید در سمت راست عددی که رقم کم‌تری دارد، صفر اضافه کنیم تا تعداد ارقام اعشاری برابر شود.
مثال ۳ (اضافه کردن صفر):$9 - 3.276$ را محاسبه کنید.
عدد $9$ را می‌توان به صورت $9.000$ نوشت. حالا اعداد را تراز می‌کنیم:
$\begin{align*} &9.000\\ -&3.276\\ \hline \end{align*}$
مانند مثال قبل، از ستون هزارم شروع به تفریق و قرض گرفتن می‌کنیم:
$\begin{align*} &\overset{8}{9}.\overset{9}{0}\overset{9}{0}\overset{10}{0}\\ -&3.2\ 7\ 6\\ \hline &5.7\ 2\ 4 \end{align*}$
پاسخ نهایی: $5.724$
کاربرد تفریق اعشاری در دنیای واقعی
تفریق اعشاری تنها یک تمرین ریاضی نیست، بلکه ابزاری ضروری برای حل مسائل روزمره است.
مثال ۴ (مدیریت مالی): علی در کیف پولش 85.75 هزار تومان دارد. او یک کتاب به قیمت 32.99 هزار تومان می‌خرد. چه مقدار پول برایش باقی می‌ماند؟
$\begin{align*} &85.75\\ -&32.99\\ \hline &52.76 \end{align*}$
پس از خرید کتاب، 52.76 هزار تومان برای علی باقی می‌ماند.
مثال ۵ (اندازه‌گیری): یک میلهٔ فلزی به طول 2.5 متر داریم. اگر یک تکه به طول 0.75 متر از آن ببریم، طول باقی‌مانده چقدر است؟
$\begin{align*} &2.50\\ -&0.75\\ \hline &1.75 \end{align*}$
طول باقی‌مانده میله 1.75 متر خواهد بود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
رایج‌ترین اشتباه، تراز نکردن ممیزها است. اگر ممیزها زیر هم نباشند، ارقام با ارزش مکانی یکسان در یک ستون قرار نمی‌گیرند و کل محاسبه اشتباه می‌شود. همیشه اولین و مهم‌ترین قدم، تراز کردن ممیزها است.
عدد صحیح را به صورت یک عدد اعشاری بنویسید. ممیز آن بعد از آخرین رقم سمت راست و قبل از اضافه کردن صفرها قرار دارد. مثلاً برای تفریق از 10، آن را به صورت 10.0 یا 10.00 (بسته به تعداد ارقام اعشاری عدد دوم) بنویسید. این کار فرآیند قرض گرفتن را بسیار آسان‌تر می‌کند.
در این حالت، جواب منفی می‌شود. اما روش حل دقیقاً یکسان است. پس از انجام تفریق به روش معمول (با قرض گرفتن)، یک علامت منفی قبل از پاسخ قرار می‌دهیم. برای مثال: $4.1 - 5.3 = -1.2$.
پاورقی
1 عدد اعشاری (Decimal Number): عددی که شامل یک نقطهٔ جداکننده (ممیز) بین بخش صحیح و بخش کسری باشد. معادل انگلیسی: Decimal Number.
2 ممیز (Decimal Point): نقطه یا علامتی که در یک عدد اعشاری، قسمت صحیح را از قسمت کسری جدا می‌کند. معادل انگلیسی: Decimal Point.
3 ارزش مکانی (Place Value): مقداری که یک رقم به‌دلیل موقعیت یا مکانش در یک عدد نمایندگی می‌کند. معادل انگلیسی: Place Value.
4 قرض گرفتن (Borrowing): در عملیات تفریق، هنگامی که رقم minuend از رقم subtrahend کوچک‌تر باشد، از ستون سمت چپ یک واحد قرض گرفته می‌شود. معادل انگلیسی: Borrowing.