مقایسهٔ کسرها؛ تعیین بزرگ‌تر، کوچک‌تر یا برابر بودن دو کسر

مقایسهٔ کسرها: راهنمای جامع برای تعیین بزرگ‌تر، کوچک‌تر یا برابر بودن

کسر چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟

یک کسر روشی برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است: صورت¹ و مخرج² که با یک خط از هم جدا می‌شوند. صورت، تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده و مخرج، تعداد کل قسمت‌های مساوی را نشان می‌دهد. برای مثال، در کسر $\frac{3}{4}$، عدد ۳ صورت و عدد ۴ مخرج است. این کسر به این معنی است که از یک کل که به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده‌است، ۳ قسمت را انتخاب کرده‌ایم.

اصول اولیه برای مقایسهٔ کسرها

برای مقایسه دو کسر، باید بتوانیم رابطهٔ بین آن‌ها را تعیین کنیم. سه حالت ممکن وجود دارد:

• کسر اول از کسر دوم بزرگ‌تر است $(\frac{a}{b} > \frac{c}{d})$
• کسر اول از کسر دوم کوچک‌تر است $(\frac{a}{b}
• کسر اول با کسر دوم برابر است $(\frac{a}{b} = \frac{c}{d})$

برای درک بهتر، تصور کنید دو پیتزای هم‌اندازه دارید. یکی را به ۴ قسمت و دیگری را به ۸ قسمت تقسیم کرده‌اید. خوردن ۳ قطعه از پیتزای اول ($\frac{3}{4}$) بسیار بیشتر از خوردن ۳ قطعه از پیتزای دوم ($\frac{3}{8}$) است. بنابراین $\frac{3}{4} > \frac{3}{8}$.

روش‌های مختلف برای مقایسه کسرها

بسته به اعدادی که در صورت و مخرج کسرها قرار دارند، روش‌های مختلفی برای مقایسه آن‌ها وجود دارد. انتخاب روش مناسب، مقایسه را بسیار ساده‌تر می‌کند.

۱. کسرهایی با مخرج یکسان

ساده‌ترین حالت برای مقایسه، زمانی است که مخرج دو کسر برابر باشد. در این حالت، تنها کافی است صورت‌ها را با هم مقایسه کنید. کسری که صورت بزرگ‌تری دارد، بزرگ‌تر است.

مثال: کسرهای $\frac{2}{5}$ و $\frac{4}{5}$ را مقایسه کنید. هر دو مخرج برابر ۵ دارند. چون $4 > 2$، پس نتیجه می‌گیریم $\frac{4}{5} > \frac{2}{5}$.

۲. کسرهایی با صورت یکسان

اگر صورت دو کسر برابر باشد، آن‌گاه کسری که مخرج کوچک‌تری دارد، بزرگ‌تر است. چرا؟ زیرا اگر صورت (تعداد قسمت‌ها) برابر باشد، تقسیم کردن کل به قسمت‌های کمتر (مخرج کوچک‌تر) به معنای بزرگ‌تر بودن هر قسمت است.

مثال: کسرهای $\frac{3}{4}$ و $\frac{3}{8}$ را مقایسه کنید. هر دو صورت برابر ۳ دارند. مخرج ۴ از مخرج ۸ کوچک‌تر است. بنابراین، $\frac{3}{4} > \frac{3}{8}$.

۳. روش مخرج مشترک گرفتن (متداول‌ترین روش)

وقتی نه صورت و نه مخرج هیچ‌کدام یکسان نباشند، مطمئن‌ترین روش پیدا کردن یک مخرج مشترک است. این یعنی هر دو کسر را به کسرهای معادلی که مخرج یکسانی دارند تبدیل می‌کنیم. سپس، می‌توانیم به راحتی صورت‌های آنها را با هم مقایسه کنیم..

مراحل کار:

1. مخرج مشترک دو کسر را پیدا کنید. ساده‌ترین راه، ضرب مخرج‌ها در یکدیگر است. اما همیشه پیدا کردن کمترین مخرج مشترک³ (K.M.M) کار را ساده‌تر می‌کند.
2. هر کسر را به گونه‌ای گسترش دهید که مخرج جدید، برابر با مخرج مشترک باشد. (صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد یکسان ضرب کنید).
3. حالا که مخرج‌ها برابر شدند، فقط کافی است صورت‌های جدید را با هم مقایسه کنید.

مثال: کسرهای $\frac{2}{3}$ و $\frac{3}{5}$ را مقایسه کنید.

کمترین مخرج مشترک برای ۳ و ۵، عدد ۱۵ است.

• $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
• $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$

حالا دو کسر $\frac{10}{15}$ و $\frac{9}{15}$ را داریم. از آنجایی که $10 > 9$، پس $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$ که یعنی $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

۴. روش صورت مشترک گرفتن

گاهی اوقات، پیدا کردن یک صورت مشترک ساده‌تر از پیدا کردن یک مخرج مشترک است. در این روش، هر دو کسر را به گونه‌ای تغییر می‌دهیم که صورت‌های یکسانی داشته باشند. سپس، کسری که مخرج کوچک‌تری دارد، بزرگ‌تر است.

مثال: کسرهای $\frac{4}{5}$ و $\frac{6}{7}$ را مقایسه کنید.

کمترین صورت مشترک برای ۴ و ۶، عدد ۱۲ است.

• $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$
• $\frac{6}{7} = \frac{6 \times 2}{7 \times 2} = \frac{12}{14}$

هر دو کسر صورت ۱۲ دارند. حالا مخرج‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۱۴ و ۱۵. کسری که مخرج کوچک‌تری دارد ($\frac{12}{14}$) بزرگ‌تر است. زیرا ۱۲ قسمت از ۱۴ قسمت، بزرگ‌تر از ۱۲ قسمت از ۱۵ قسمت است. بنابراین، $\frac{6}{7} > \frac{4}{5}$.

۵. روش تبدیل به اعشار

یکی از روش‌های ساده و مستقیم، تبدیل کسر به عدد اعشاری است. برای این کار کافی است صورت را بر مخرج تقسیم کنید. سپس اعداد اعشاری به‌دست‌آمده را با هم مقایسه کنید.

مثال: کسرهای $\frac{1}{4}$ و $\frac{2}{5}$ را مقایسه کنید.

• $\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0.25$
• $\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.40$

از آنجایی که $0.40 > 0.25$، پس $\frac{2}{5} > \frac{1}{4}$.

۶. روش ضرب متقاطع (Cross Multiplication)

این روش سریع و کاربردی است و نیاز به پیدا کردن مخرج مشترک ندارد. برای مقایسه دو کسر $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$:

1. عدد $a \times d$ را محاسبه کنید.
2. عدد $b \times c$ را محاسبه کنید.
3. حالا این دو حاصل‌ضرب را با هم مقایسه کنید:
   • اگر $a \times d > b \times c$ آنگاه $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
   • اگر $a \times d آنگاه $\frac{a}{b}
   • اگر $a \times d = b \times c$ آنگاه $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

مثال: کسرهای $\frac{3}{5}$ و $\frac{4}{7}$ را مقایسه کنید.

• $3 \times 7 = 21$
• $5 \times 4 = 20$

از آنجایی که $21 > 20$، پس $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.

۷. مقایسه با کسرهای معیار (مانند ۱ یا ½)

گاهی می‌توان با یک نگاه سریع و مقایسهٔ کسر با معیارهای شناخته‌شده‌ای مانند ۱، ½ یا ¼، نتیجه را حدس زد. این روش برای تخمین زدن سریع بسیار مفید است.

مثال: کسر $\frac{7}{8}$ را با $\frac{3}{4}$ مقایسه کنید.

می‌دانیم که $\frac{7}{8}$ بسیار نزدیک به ۱ است (فقط ⅛ کمتر). از طرفی، $\frac{3}{4}$ برابر با ۰.۷۵ است که از ۱ فاصلهٔ بیشتری دارد. بنابراین، می‌توان به سرعت نتیجه گرفت که $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$.

کاربردهای عملی مقایسه کسر در زندگی روزمره

مقایسه کسرها فقط یک تمرین کتابی نیست، بلکه در موقعیت‌های مختلف زندگی کاربرد دارد:

• پخت‌وپز: برای مقایسهٔ مقدار مواد اولیه در دو دستور غذا مختلف. مثلاً آیا $\frac{2}{3}$ فنجان شکر بیشتر است یا $\frac{3}{4}$ فنجان؟
• خرید: برای پیدا کردن تخفیف بهتر. کالایی با $\frac{1}{3}$ تخفیف ارزان‌تر است یا کالایی با $\frac{2}{5}$ تخفیف؟
• مدیریت زمان: برای برنامه‌ریزی. اگر $\frac{3}{4}$ ساعت را صرف تکالیف کرده‌اید و $\frac{2}{3}$ ساعت را صرف مطالعه، کدام فعالیت زمان بیشتری برداشته است؟
• ورزش: برای تحلیل آمار. اگر یک بازیکن بسکتبال $\frac{5}{8}$ پرتاب‌های خود را به ثمر برساند و بازیکن دیگری $\frac{7}{12}$ پرتاب‌ها را، کدام یک عملکرد بهتری داشته است؟

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ صورت (Numerator): عددی که در بالای خط کسر نوشته می‌شود و تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده را نشان می‌دهد.

² مخرج (Denominator): عددی که در زیر خط کسر نوشته می‌شود و تعداد کل قسمت‌های مساوی را نشان می‌دهد.

³ کمترین مخرج مشترک (Least Common Denominator - LCD): کوچکترین عددی که مضرب مشترک مخرج‌های دو یا چند کسر باشد.