کوچکترین مضرب مشترک (LCM)[1]
مضرب مشترک چیست؟ از مضرب تا کوچکترین مضرب مشترک
برای درک کوچکترین مضرب مشترک یا LCM، ابتدا باید با مفهوم «مضرب» آشنا شویم. مضرب‌های یک عدد، از ضرب آن عدد در اعداد صحیح مثبت (۱، ۲، ۳، ...) به دست می‌آیند.
مثال: مضرب‌های عدد 4 عبارت‌اند از: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
مضرب‌های عدد 6 عبارت‌اند از: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
حالا به اعدادی که در هر دو ردیف بالا مشترک هستند دقت کنید: 12 و 24. به این اعداد، مضرب‌های مشترک اعداد ۴ و ۶ می‌گویند. از بین این مضرب‌های مشترک، کوچکترین آن‌ها عدد 12 است. پس کوچکترین مضرب مشترک یا LCM اعداد ۴ و ۶ برابر است با 12.
به زبان ریاضی، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت a و b را با نماد LCM(a, b) نشان می‌دهند.
روش‌های محاسبه LCM: از فهرست کردن تا تجزیه عوامل اول
برای محاسبه LCM چند روش وجود دارد که بسته به اعداد مورد نظر می‌توان از آن‌ها استفاده کرد.
۱. روش فهرست کردن مضرب‌ها
این روش برای اعداد کوچک بسیار مناسب و قابل درک است. همان‌طور که در مثال قبل دیدیم، مضرب‌های هر عدد را تا جایی که یک مضرب مشترک پیدا کنیم، می‌نویسیم.
مثال: LCM اعداد ۳ و ۵ را پیدا کنید.
مضرب‌های ۳: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
مضرب‌های ۵: 5, 10, 15, 20, 25, ...
کوچکترین مضرب مشترک: 15
۲. روش تجزیه به عوامل اول (روش استاندارد)
این روش برای اعداد بزرگتر بسیار کارآمد و مطمئن است. مراحل آن به شرح زیر است:
- هر عدد را به حاصلضرب عوامل اول آن تجزیه می‌کنیم.
- بزرگترین توان هر عامل اول را در بین تجزیه‌ها انتخاب می‌کنیم.
- حاصلضرب این عوامل انتخاب‌شده، همان LCM خواهد بود.
مثال: LCM اعداد ۱۲ و ۱۸ را با روش تجزیه پیدا کنید.
تجزیه عدد ۱۲: $12 = 2^2 \times 3^1$
تجزیه عدد ۱۸: $18 = 2^1 \times 3^2$
بزرگترین توان هر عامل:
- عامل ۲: بزرگترین توان $2^2$ (از عدد ۱۲)
- عامل ۳: بزرگترین توان $3^2$ (از عدد ۱۸)
پس داریم: $LCM(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
۳. محاسبه LCM برای بیش از دو عدد
روش تجزیه به عوامل اول برای پیدا کردن LCM سه عدد یا بیشتر نیز به کار می‌رود. کافی است مراحل قبل را برای همه اعداد انجام دهیم.
مثال: LCM اعداد ۸، ۱۲ و ۱۵ را پیدا کنید.
تجزیه اعداد:
- $8 = 2^3$
- $12 = 2^2 \times 3^1$
- $15 = 3^1 \times 5^1$
بزرگترین توان هر عامل اول: $2^3$، $3^1$، $5^1$
پس داریم: $LCM(8, 12, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$
| روش | مناسب برای | مزایا | معایب |
|---|---|---|---|
| فهرست کردن مضرب‌ها | اعداد بسیار کوچک | درک آسان، بدون نیاز به محاسبات پیچیده | برای اعداد بزرگ بسیار وقت‌گیر و غیرعملی |
| تجزیه به عوامل اول | همه اعداد (به‌ویژه اعداد بزرگ) | مطمئن، سیستماتیک و قابل استفاده برای چند عدد | نیاز به تسلط بر تجزیه اعداد به عوامل اول |
| استفاده از رابطه با GCD | وقتی GCD را می‌دانیم یا به راحتی پیدا می‌شود | محاسبه سریع برای دو عدد | برای بیش از دو عدد به صورت مستقیم کاربرد ندارد |
کاربردهای LCM در دنیای اطراف ما: از ریاضی تا برنامه‌ریزی
شاید فکر کنید LCM فقط یک مفهوم تئوری در کتاب‌های ریاضی است، اما کاربردهای عملی بسیار زیادی دارد که هر روزه ممکن است با آن‌ها سروکار داشته باشیم.
۱. جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های متفاوت
برای جمع یا تفریق کسرهایی که مخرج‌های متفاوتی دارند، باید مخرج مشترک بگیریم. بهترین مخرج مشترک، کوچکترین مخرج مشترک یا همان LCM مخرج‌ها است.
مثال: حاصل $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ را حساب کنید.
مخرج‌ها ۴ و ۶ هستند. LCM(4, 6) = 12. پس مخرج مشترک را ۱۲ قرار می‌دهیم.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
حالا جمع می‌کنیم: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$
۲. هماهنگ‌سازی و برنامه‌ریزی رویدادهای تکراری
فرض کنید دو اتوبوس از یک ایستگاه حرکت می‌کنند. اتوبوس خط شماره ۱ هر ۱۵ دقیقه و اتوبوس خط شماره ۲ هر ۲۰ دقیقه یک بار از ایستگاه عبور می‌کند. اگر هر دو اتوبوس در یک زمان ایستگاه را ترک کنند، چند دقیقه دیگر دوباره با هم در ایستگاه حاضر خواهند بود؟
پاسخ این سؤال، دقیقاً برابر است با LCM بازه‌های زمانی حرکت آن‌ها.
LCM(15, 20) = ?
تجزیه اعداد: $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$
$LCM(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
پس پس از ۶۰ دقیقه، هر دو اتوبوس دوباره هم‌زمان در ایستگاه خواهند بود. این مفهوم برای برنامه‌ریزی زمان‌بندی‌های مختلف مانند زمان استراحت بین کلاس‌ها، زمان چرخه تولید در یک کارخانه و ... کاربرد دارد.
۳. پیدا کردن الگوهای تکراری
در بسیاری از الگوهای عددی یا هندسی، LCM می‌تواند نقطه اتصال یا تکرار الگوها را نشان دهد. مثلاً اگر دو چرخ دنده با تعداد دنده‌های متفاوت درگیر باشند، LCM تعداد دنده‌های آن‌ها نشان می‌دهد پس از چند چرخش، وضعیت اولیه آن‌ها دقیقاً تکرار خواهد شد.
پرسش‌های متداول و اشتباهات رایج
بله. اگر دو عدد اول باشند، تنها مقسوم‌علیه‌مشترک آن‌ها ۱ است (یعنی GCD آن‌ها = ۱). طبق رابطه معروف، داریم: LCM(a, b) = a × b / 1 = a × b. مثلاً LCM اعداد اول ۵ و ۷ برابر است با 35.
یک اشتباه رایج، اشتباه گرفتن LCM با بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک (GCD) است. LCM کوچکترین عددی است که بر هر دو عدد بخش‌پذیر است، در حالی که GCD بزرگترین عددی است که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر هستند. برای مثال، برای اعداد ۱۲ و ۱۸، GCD برابر ۶ و LCM برابر ۳۶ است. اشتباه دیگر، انتخاب تمام عوامل در روش تجزیه است، در حالی که باید فقط بزرگترین توان هر عامل انتخاب شود.
بله، همیشه کوچکترین مضرب مشترک دو عدد، بزرگتر یا مساوی با بزرگترین آن دو عدد است. تنها استثنا زمانی است که یکی از اعداد، مضرب دیگری باشد. در این صورت، LCM برابر با همان عدد بزرگتر خواهد بود. مثلاً برای اعداد ۵ و ۱۰، LCM برابر ۱۰ است که مساوی با عدد بزرگتر است. برای اعداد ۳ و ۵ که هیچ مضرب مشترک کوچکتری ندارند، LCM که ۱۵ است، از هر دو عدد بزرگتر است.
پاورقی
[1] LCM: مخفف عبارت انگلیسی Least Common Multiple
[2] GCD: مخفف عبارت انگلیسی Greatest Common Divisor (بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک)