ضرب کسرها: از مفاهیم پایه تا کاربردهای عملی
کسر چیست و اجزای آن کدامند؟
پیش از پرداختن به عمل ضرب، ضروری است که بدانیم کسر چیست. یک کسر روشی برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است:
- صورت1: عددی که در خط کسر و در بالا قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده‌ی تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده است.
- مخرج2: عددی که در زیر خط کسر قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده‌ی تعداد کل قسمت‌های برابر است که واحد ما را تشکیل می‌دهند.
برای مثال، در کسر $\frac{3}{4}$، عدد 3 صورت و عدد 4 مخرج است. این کسر به این معنی است که از یک واحد که به 4 قسمت مساوی تقسیم شده‌است، 3 قسمت را انتخاب کرده‌ایم.
قانون طلایی ضرب کسرها
ضرب دو کسر بسیار ساده‌تر از جمع یا تفریق آن‌هاست، زیرا نیازی به پیدا کردن مخرج مشترک ندارد. قانون اصلی به این صورت است:
به زبان ریاضی: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
مثال 1: فرض کنید می‌خواهیم حاصل $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}$ را پیدا کنیم.
طبق قانون: صورت ها را در هم ضرب می‌کنیم: $1 \times 3 = 3$
مخرج ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 5 = 10$
پاسخ نهایی می‌شود: $\frac{3}{10}$
ساده‌سازی کسرها قبل و بعد از ضرب
گاهی اوقات می‌توانیم قبل از انجام عمل ضرب، محاسبات را ساده‌تر کنیم. اگر عددی در صورت یک کسر و در مخرج کسر دیگر یکسان باشد یا عامل مشترکی داشته باشند، می‌توانیم آن‌ها را ساده3 کنیم. این کار به دو روش انجام می‌شود:
- ساده‌سازی پس از ضرب (cross canceling): ابتدا ضرب را انجام می‌دهیم و سپس کسر حاصل را تا حد امکان ساده می‌کنیم.
- ساده‌سازی قبل از ضرب (cross canceling): قبل از ضرب، اعداد در صورت و مخرج که عامل مشترک دارند را ساده می‌کنیم. این روش محاسبات را سریع‌تر و آسان‌تر می‌کند.
مثال 2 (ساده‌سازی پس از ضرب): حاصل $\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}$ را بیابید.
ابتدا ضرب می‌کنیم: $\frac{2 \times 9}{3 \times 10} = \frac{18}{30}$
حال کسر $\frac{18}{30}$ را ساده می‌کنیم. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌مشترک (ب.م.م) اعداد 18 و 30، عدد 6 است. بنابراین:
$\frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$
پاسخ نهایی $\frac{3}{5}$ است.
مثال 3 (ساده‌سازی قبل از ضرب): حاصل $\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}$ را با ساده‌سازی اولیه بیابید.
به اعداد نگاه می‌کنیم. صورت کسر اول (2) و مخرج کسر دوم (10) هر دو بر 2 بخش‌پذیرند. همچنین، مخرج کسر اول (3) و صورت کسر دوم (9) هر دو بر 3 بخش‌پذیرند.
ابتدا ساده می‌کنیم:
$\frac{\cancel{2}^1}{3} \times \frac{9}{\cancel{10}_5} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{5}$
دوباره ساده می‌کنیم: صورت و مخرج جدید (3 و 9) هر دو بر 3 بخش‌پذیرند.
$\frac{1}{\cancel{3}_1} \times \frac{\cancel{9}^3}{5} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$
می‌بینید که بدون محاسبه‌ی اعداد بزرگ، به پاسخ یکسان $\frac{3}{5}$ رسیدیم.
| روش | مراحل | مزایا |
|---|---|---|
| ساده‌سازی پس از ضرب | 1. ضرب صورت‌ها و مخرج‌ها 2. ساده‌سازی کسر حاصل |
ساده‌تر برای درک اولیه |
| ساده‌سازی قبل از ضرب | 1. یافتن عوامل مشترک 2. ساده‌سازی اعداد متقابل 3. ضرب صورت‌ها و مخرج‌های ساده‌شده |
محاسبات سریع‌تر و عددهای کوچک‌تر |
ضرب کسر در عدد صحیح و عدد مخلوط
ضرب کسرها فقط به دو کسر ساده محدود نمی‌شود. ما می‌توانیم یک کسر را در یک عدد صحیح یا یک عدد مخلوط نیز ضرب کنیم.
ضرب کسر در عدد صحیح: هر عدد صحیح را می‌توان به صورت کسری با مخرج 1 نوشت. سپس قانون ضرب معمولی کسرها را اعمال می‌کنیم.
مثال 4: حاصل $5 \times \frac{2}{3}$ را بیابید.
عدد 5 را به صورت $\frac{5}{1}$ می‌نویسیم: $\frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times 2}{1 \times 3} = \frac{10}{3}$
پاسخ را می‌توان به صورت عدد مخلوط $3\frac{1}{3}$ نیز نوشت.
ضرب عدد مخلوط: برای ضرب اعداد مخلوط، ابتدا باید آن‌ها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم، سپس عمل ضرب را انجام دهیم.
مثال 5: حاصل $2\frac{1}{2} \times 1\frac{3}{4}$ را بیابید.
ابتدا اعداد مخلوط را به کسر نامناسب تبدیل می‌کنیم:
$2\frac{1}{2} = \frac{(2 \times 2) + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$1\frac{3}{4} = \frac{(1 \times 4) + 3}{4} = \frac{7}{4}$
حال دو کسر را ضرب می‌کنیم: $\frac{5}{2} \times \frac{7}{4} = \frac{5 \times 7}{2 \times 4} = \frac{35}{8}$
پاسخ نهایی را می‌توان به صورت عدد مخلوط $4\frac{3}{8}$ نوشت.
کاربرد ضرب کسرها در دنیای واقعی
شاید برایتان سؤال باشد که یادگیری این مفهوم چه فایده‌ای در زندگی دارد. در واقع، ضرب کسرها کاربردهای بسیار گسترده‌ای دارد:
- پخت و پز: اگر بخواهید یک دستور غذا را برای نصف افراد خانواده درست کنید، باید مقادیر مواد اولیه را در $\frac{1}{2}$ ضرب کنید. مثلاً اگر دستور اصلی $\frac{3}{4}$ فنجان شکر نیاز دارد، مقدار جدید خواهد شد: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ فنجان.
- محاسبه‌ی مساحت: مساحت یک مستطیل از ضرب طول در عرض به دست می‌آید. اگر ابعاد به صورت کسر باشند، باید آن‌ها را در هم ضرب کنیم. مثلاً مساحت یک میز به ابعاد $\frac{1}{2}$ متر در $\frac{3}{4}$ متر برابر است با $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ متر مربع.
- تخفیف‌های فروشگاه: اگر یک کالا $\frac{1}{3}$ تخفیف داشته باشد و قیمت اصلی آن 120,000 تومان باشد، مقدار تخفیف برابر است با: $\frac{1}{3} \times 120,000 = 40,000$ تومان.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این بزرگ‌ترین تفاوت ضرب با جمع و تفریق کسرهاست. در ضرب، مستقیماً صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و هیچ نیازی به پیدا کردن مخرج مشترک نداریم.
متداول‌ترین اشتباه، ساده نکردن پاسخ نهایی یا ساده نکردن قبل از ضرب است. بسیاری از دانش‌آموزان پس از به دست آوردن جواب، فراموش می‌کنند که بررسی کنند آیا کسر حاصل ساده‌شدنی است یا خیر. همیشه پاسخ نهایی باید به صورت ساده‌شده نوشته شود.
هیچ تفاوتی ندارد. قانون برای هر تعداد کسر یکسان است. تمام صورت‌ها را در هم و تمام مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. مثلاً: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f}$. سپس در نهایت حاصل را ساده می‌کنیم.
پاورقی
1 صورت (Numerator)
2 مخرج (Denominator)
3 ساده‌سازی (Simplification)