تفریق کسرها: از اصول پایه تا تسلط کامل
کسر چیست و اجزای آن کدامند؟
یک کسر روشی برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است:
- صورت کسر (Numerator)[1]: عددی که در خط کسر و در بالا قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده‌ی تعداد قسمت‌های انتخاب‌شده است.
- مخرج کسر (Denominator)[2]: عددی که در زیر خط کسر قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده‌ی تعداد کل قسمت‌های مساوی است.
برای مثال، در کسر $\frac{3}{4}$، عدد 3 صورت و عدد 4 مخرج است. این کسر به این معنی است که از یک چیزی که به 4 قسمت مساوی تقسیم شده، 3 قسمت را انتخاب کرده‌ایم.
تفریق کسرها با مخرج یکسان
ساده‌ترین حالت تفریق کسرها زمانی است که مخرج‌های آن‌ها باهم برابر باشند. در این حالت، فقط کافی است صورت‌ها را از هم کم کنیم و مخرج مشترک را بدون تغییر نگه داریم.
مثال 1: فرض کنید $\frac{5}{7}$ از یک پیتزا باقی مانده است. اگر شما $\frac{2}{7}$ از آن را بخورید، چقدر باقی می‌ماند؟
حل: از آنجایی که مخرج‌ها هر دو 7 هستند، فقط صورت‌ها را تفریق می‌کنیم:
$\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5 - 2}{7} = \frac{3}{7}$
بنابراین، $\frac{3}{7}$ از پیتزا باقی می‌ماند.
تفریق کسرها با مخرج متفاوت (یکسان‌سازی مخرج)
وقتی مخرج دو کسر متفاوت است، قبل از تفریق باید مخرج‌ها را یکسان کنیم. این کار با پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک (K.M.M)[3] یا هر مضرب مشترک دیگر از مخرج‌ها انجام می‌شود.
مراحل گام‌به‌گام:
- مخرج‌ها را مقایسه کن. اگر یکسان نبودند، به مرحله‌ی بعد برو.
- کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) دو مخرج را پیدا کن. این عدد، مخرج مشترک جدید خواهد بود.
- هر کسر را به گونه‌ای تبدیل کن که مخرج جدید را داشته باشد. برای این کار، هم صورت و هم مخرج کسر را در یک عدد یکسان ضرب کن (این کار مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد).
- حالا که مخرج‌ها یکسان شدند، مانند حالت قبل، صورت‌ها را از هم کم کن و مخرج مشترک را بنویس.
- در نهایت، اگر امکان ساده‌کردن کسر وجود دارد، آن را به ساده‌ترین شکل بنویس.
مثال 2: عملیات $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$ را انجام دهید.
حل گام‌به‌گام:
1. مخرج‌ها (4 و 6) متفاوت هستند. پس باید مخرج مشترک بگیریم.
2. مضرب‌های 4: 4, 8, 12, 16, ...
مضرب‌های 6: 6, 12, 18, ...
کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) عدد 12 است.
3. تبدیل کسرها به مخرج 12:
برای تبدیل $\frac{3}{4}$ به مخرج 12، باید صورت و مخرج را در 3 ضرب کنیم: $\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
برای تبدیل $\frac{1}{6}$ به مخرج 12، باید صورت و مخرج را در 2 ضرب کنیم: $\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
4. حالا تفریق را انجام می‌دهیم: $\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$
5. کسر $\frac{7}{12}$ ساده‌تر نمی‌شود. بنابراین پاسخ نهایی همان است.
| شرایط کسرها | روش حل | مثال |
|---|---|---|
| مخرج‌ها یکسان | تفریق صورت‌ها و نوشتن مخرج مشترک | $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ |
| مخرج‌ها متفاوت | پیدا کردن ک.م.م، یکسان‌سازی مخرج، سپس تفریق | $\frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$ |
| شامل عدد مخلوط | تبدیل به کسر نامناسب، سپس انجام مراحل بالا | $2\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3} = \frac{5}{2} - \frac{4}{3} = \frac{15}{6} - \frac{8}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$ |
کاربرد تفریق کسرها در زندگی روزمره و اندازه‌گیری
شاید برایتان سؤال باشد که یادگیری این مفهوم به چه دردی می‌خورد. تفریق کسرها در بسیاری از موقعیت‌های واقعی کاربرد دارد:
- پخت‌وپز: فرض کنید دستور پخت کیکی نیاز به $\frac{3}{4}$ فنجان شکر دارد. اگر شما فقط $\frac{1}{3}$ فنجان در خانه دارید، برای فهمیدن مقدار شکر کمبود دارید، باید این دو کسر را تفریق کنید: $\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$. شما به $\frac{5}{12}$ فنجان شکر دیگر نیاز دارید.
- خیاطی: اگر برای دوخت یک لباس به $2\frac{1}{2}$ متر پارچه نیاز باشد و شما $1\frac{3}{4}$ متر پارچه داشته باشید، برای محاسبه‌ی پارچه‌ی مورد نیاز اضافی، باید اعداد مخلوط را تفریق کنید.
- مدیریت زمان: اگر انجام تکالیف $\frac{2}{3}$ ساعت زمان ببرد و شما $\frac{1}{4}$ ساعت را از قبل صرف کرده باشید، با تفریق این دو کسر متوجه می‌شوید چقدر زمان دیگر لازم دارید.
تفریق اعداد مخلوط
اعداد مخلوط، اعدادی هستند که از یک جزء صحیح و یک کسر تشکیل شده‌اند (مانند $2\frac{1}{3}$). برای تفریق آن‌ها دو روش اصلی وجود دارد:
روش اول: تبدیل به کسر نامناسب
1. عدد مخلوط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
2. اگر مخرج‌ها متفاوت بودند، مخرج مشترک بگیرید.
3. تفریق را انجام دهید.
4. در صورت لزوم، پاسخ را دوباره به عدد مخلوط تبدیل کنید.
مثال 3:$3\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2}$
حل: $3\frac{1}{4} = \frac{(3 \times 4) + 1}{4} = \frac{13}{4}$
$1\frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$
مخرج مشترک 4 و 2، عدد 4 است:
$\frac{13}{4} - \frac{3}{2} = \frac{13}{4} - \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{13}{4} - \frac{6}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$
روش دوم: تفریق جزءبه‌جزء
1. جزءهای صحیح را جداگانه از هم کم کنید.
2. جزءهای کسری را جداگانه از هم کم کنید (در این مرحله ممکن است نیاز به مخرج مشترک داشته باشید).
3. اگر جزء کسری نتیجه منفی شد، باید از جزء صحیح قرض بگیرید.
مثال 4:$4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{5}$
حل: ابتدا جزءهای کسری را تفریق می‌کنیم: $\frac{1}{5} - \frac{3}{5}$. از آنجایی که این تفریق منفی می‌شود، از عدد صحیح 4، یک واحد قرض می‌گیریم. یک واحد برابر است با $\frac{5}{5}$. پس داریم:
$4\frac{1}{5} = 3 + 1 + \frac{1}{5} = 3 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 3\frac{6}{5}$
حالا به راحتی تفریق را انجام می‌دهیم:
جزء صحیح: 3 - 2 = 1
جزء کسری: $\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$
پاسخ نهایی: $1\frac{3}{5}$
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
[1] صورت کسر (Numerator): عددی که در بالای خط کسر نوشته می‌شود و نشان‌دهنده‌ی تعداد اجزای انتخاب‌شده است.
[2] مخرج کسر (Denominator): عددی که در زیر خط کسر نوشته می‌شود و نشان‌دهنده‌ی تعداد کل اجزای برابر است.
[3] کوچکترین مضرب مشترک (K.M.M) - Least Common Multiple (LCM): کوچکترین عددی که مضرب هر دو مخرج باشد.