کوچک‌ترین مخرج مشترک (LCD): کلید حل معمای جمع و تفریق کسرها
کسرها و نیاز به مخرج مشترک
فرض کنید می‌خواهید یک دوم ($\frac{1}{2}$) یک پیتزا را با یک سوم ($\frac{1}{3}$) پیتزای دیگری جمع کنید. چگونه می‌توان فهمید در مجموع چقدر پیتزا دارید؟ مشکل اینجاست که این دو کسر، مخرج‌های متفاوتی دارند (2 و 3). برای جمع یا تفریق کسرها، باید آن‌ها را به کسرهایی تبدیل کنیم که مخرج یکسانی داشته باشند. این مخرج یکسان، مخرج مشترک نامیده می‌شود.
کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM) چیست؟
قبل از پرداختن به کوچک‌ترین مخرج مشترک، باید با مفهوم کوچک‌ترین مضرب مشترک1 (LCM) آشنا شویم. مضرب‌های یک عدد، اعدادی هستند که بر آن عدد بخش‌پذیرند. برای مثال، مضرب‌های عدد 4 عبارت‌اند از: 4, 8, 12, 16, 20, ...
کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد، کوچک‌ترین عددی است که مضرب هر دو آن اعداد باشد. برای پیدا کردن ک.م.م دو عدد، می‌توانیم مضرب‌های آن‌ها را بنویسیم و اولین مضرب مشترک را پیدا کنیم.
مثال: کوچک‌ترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 را پیدا کنید.
- مضرب‌های 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- مضرب‌های 6: 6, 12, 18, 24, ...
مضرب‌های مشترک: 12, 24, .... کوچک‌ترین آن‌ها عدد 12 است. بنابراین: LCM(4, 6) = 12.
مثال: LCM(12, 18)
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
کوچک‌ترین مخرج مشترک (LCD) چگونه به دست می‌آید؟
حالا که با ک.م.م آشنا شدیم، فهمیدن LCD بسیار آسان است. کوچک‌ترین مخرج مشترک دو یا چند کسر، در واقع همان کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM) مخرج‌های آن کسرها است.
ما از LCD استفاده می‌کنیم زیرا محاسبات را ساده‌تر می‌کند (با اعداد کوچک‌تر سر و کار داریم) و جواب نهایی را به ساده‌ترین شکل ممکن می‌دهد.
مرحله‌به‌مرحله: جمع دو کسر با مخرج متفاوت
بیایید با یک مثال کامل،مسیر را طی کنیم: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = ?$
گام ۱: پیدا کردن LCD مخرج‌ها.
مخرج‌ها 4 و 3 هستند. کوچک‌ترین مضرب مشترک آن‌ها را پیدا می‌کنیم.
- مضرب‌های 4: 4, 8, 12, 16, ...
- مضرب‌های 3: 3, 6, 9, 12, 15, ...
پس LCD = LCM(4, 3) = 12.
گام ۲: تبدیل هر کسر به کسری با مخرج ۱۲.
برای این کار، باید صورت و مخرج هر کسر را در عددی ضرب کنیم که مخرج آن برابر ۱۲ شود.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
گام ۳: جمع کردن کسرهای جدید.
حالا که هر دو کسر مخرج یکسان دارند، به راحتی صورت‌ها را جمع می‌کنیم.
$\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12}$
گام ۴: ساده کردن کسر (در صورت امکان).
کسر $\frac{11}{12}$ قبلاً در ساده‌ترین شکل خود است. بنابراین، جواب نهایی $\frac{11}{12}$ است.
| کسرها | پیدا کردن LCM مخرج‌ها | LCD |
|---|---|---|
| $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ | مضرب‌های 2: 2, 4, 6, 8... مضرب‌های 3: 3, 6, 9... |
6 |
| $\frac{3}{5}, \frac{2}{15}$ | 15 بر 5 بخش‌پذیر است. | 15 |
| $\frac{1}{6}, \frac{3}{8}$ | $6 = 2 \times 3$ $8 = 2^3$ $LCM = 2^3 \times 3 = 24$ |
24 |
چرا همیشه باید از کوچک‌ترین مخرج مشترک استفاده کنیم؟
می‌توانیم برای جمع کسر $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$ از هر مخرج مشترک دیگری مانند 24 استفاده کنیم؟ بله، اما کار را سخت‌تر می‌کند.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$
$\frac{6}{24} + \frac{16}{24} = \frac{22}{24}$
حالا باید کسر $\frac{22}{24}$ را ساده کنیم: $\frac{22 \div 2}{24 \div 2} = \frac{11}{12}$.
همانطور که می‌بینید، به جواب یکسانی رسیدیم، اما یک مرحله ساده‌سازی اضافی داشتیم. استفاده از LCD (12) ما را مستقیماً به جواب ساده‌شده ($\frac{11}{12}$) رساند و محاسبات با اعداد کوچک‌تری انجام شد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر، شما می‌توانید از هر مضرب مشترک دیگری استفاده کنید، اما در نهایت مجبور خواهید بود کسر حاصل را ساده کنید. استفاده از LCD محاسبات را کوتاه‌تر و ساده‌تر می‌کند.
رایج‌ترین اشتباه، جمع یا تفریق صورت‌ها و مخرج‌ها با یکدیگر است. به خاطر داشته باشید فقط وقتی می‌توانید صورت‌ها را جمع بزنید که مخرج‌ها یکسان باشند. $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \neq \frac{a+c}{b+d}$
در این حالت، عدد بزرگ‌تر خودش به تنهایی LCD است. برای مثال، برای مخرج‌های 3 و 6، LCD برابر 6 است. برای مخرج‌های 4 و 12، LCD برابر 12 است.
پاورقی
1 LCM: Least Common Multiple (کوچک‌ترین مضرب مشترک)
2 عوامل اول: Prime Factors (اعداد اولی که در تجزیه یک عدد به کار رفته‌اند)
LCD: Least Common Denominator (کوچک‌ترین مخرج مشترک)