کسر: زبان ریاضی برای بخش‌های یک کل
کسر چیست و چگونه نشان داده می‌شود؟
یک کسر عددی است که نشان می‌دهد چند بخش از یک کل که به قسمت‌های مساوی تقسیم شده‌است، انتخاب شده‌اند. هر کسر از دو بخش تشکیل شده است:
مخرج[3] کسر (عدد پایین): نشان‌دهندهٔ تعداد کل بخش‌های مساوی است.
به خطی که این دو عدد را از هم جدا می‌کند، خط کسر می‌گویند.
برای مثال، اگر یک پیتزا را به 8 قطعهٔ مساوی تقسیم کنیم و 3 قطعه از آن را برداریم، کسر مربوطه به این صورت نوشته می‌شود: $\frac{3}{8}$ (سه‌هشتم). این بدان معناست که ما 3 بخش از کل 8 بخش را داریم.
انواع مختلف کسر
کسرها را می‌توان به انواع مختلفی تقسیم‌بندی کرد که هر کدام ویژگی‌های خاص خود را دارند.
| نوع کسر | تعریف | مثال |
|---|---|---|
| کسر ساده یا متعارفی | کسری که صورت و مخرج آن اعداد صحیح باشند. | $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ |
| کسر واحد | کسری که صورت آن عدد 1 باشد. | $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{10}$ |
| کسر ظاهراً بزرگتر از کل (کسر ناسره)[4] | کسری که صورت آن از مخرج بزرگتر یا مساوی باشد. | $\frac{5}{3}$, $\frac{4}{4}$ |
| عدد مخلوط[5] | ترکیبی از یک عدد صحیح و یک کسر ساده. | $2\frac{1}{2}$ (دو و یک‌دوم) |
| کسرهای مساوی | کسرهایی که ارزش یکسانی دارند اما به شکل متفاوتی نوشته شده‌اند. | $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ |
ساده‌سازی کسرها و پیدا کردن بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک
ساده‌کردن یک کسر به این معنی است که آن را به ساده ترین شکل ممکن بنویسیم، طوری که صورت و مخرج آن دیگر به عددی به جز 1 بخش‌پذیر نباشند. برای این کار، هم صورت و هم مخرج را بر بزرگترین عددی که هر دو بر آن بخش‌پذیر هستند (ب.م.م[6]) تقسیم می‌کنیم.
مثال: کسر $\frac{8}{12}$ را ساده کنید.
8 = 2 × 2 × 2
12 = 2 × 2 × 3
مرحله ۲: ب.م.م این دو عدد را پیدا کنید. (عوامل مشترک: 2 × 2 = 4)
مرحله ۳: صورت و مخرج را بر 4 تقسیم کنید.
$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$
بنابراین، $\frac{8}{12}$ در ساده‌ترین شکل خود معادل $\frac{2}{3}$ است.
چهار عمل اصلی با کسرها
جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرها قوانین خاص خود را دارد.
جمع و تفریق کسرها
برای جمع یا تفریق کسرها، مخرج‌های آن‌ها باید یکسان باشند. اگر نیستند، ابتدا باید با پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک[8] (ک.م.م)، مخرج مشترک بگیریم.
مثال: حاصل $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ را بیابید.
مرحله ۲: هر کسر را به کسری با مخرج 12 تبدیل کنید.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
مرحله ۳: صورت‌ها را جمع کنید.
$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$
پاسخ نهایی $\frac{5}{12}$ است.
ضرب و تقسیم کسرها
ضرب کسرها ساده‌تر است: صورت‌ها در هم و مخرج‌ها در هم ضرب می‌شوند. برای تقسیم، کسر دوم را معکوس[9] کرده و سپس ضرب می‌کنیم.
مثال: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
تقسیم: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
مثال: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
کاربرد کسرها در زندگی واقعی و حل مسئله
کسرها فقط یک مفهوم انتزاعی ریاضی نیستند، بلکه در بسیاری از موقعیت‌های روزمره کاربرد دارند. هنگام پختن کیک و اندازه‌گیری مواد اولیه (مثلاً $\frac{3}{4}$ پیمانه شکر)، هنگام تقسیم کردن یک پیتزا بین دوستان، یا هنگام محاسبهٔ تخفیف در فروشگاه‌ها (% تخفیف یعنی $\frac{1}{4}$ از قیمت اصلی کم می‌شود) از کسرها استفاده می‌کنیم.
مثال کاربردی: علی $\frac{2}{5}$ از مسیر خانه تا مدرسه را پیاده رفته است. اگر کل مسیر 1500 متر باشد، او چند متر پیاده روی کرده است؟
$\frac{2}{5} \times 1500 = ?$
می‌توانیم اینطور حل کنیم: $\frac{2}{5} \times 1500 = \frac{2 \times 1500}{5} = \frac{3000}{5} = 600$
یا: ابتدا 1500 را بر 5 تقسیم کنیم تا مقدار $\frac{1}{5}$ مسیر به دست آید (300 متر) و سپس در 2 ضرب کنیم (600 متر).
بنابراین، علی 600 متر پیاده روی کرده است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
[1] Fraction
[2] Numerator
[3] Denominator
[4] Improper Fraction
[5] Mixed Number
[6] Greatest Common Divisor (GCD) - بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک
[7] Prime Factors
[8] Least Common Multiple (LCM) - کوچکترین مضرب مشترک
[9] Reciprocal (معکوس یک کسر با جابجا کردن صورت و مخرج به دست می‌آید. معکوس $\frac{a}{b}$ برابر $\frac{b}{a}$ است.)