بخش‌پذیری: کلید درک زبان اعداد
بخش‌پذیری چیست؟
در ریاضیات، می‌گوییم عدد a بر عدد b بخش‌پذیر است، اگر عدد صحیح دیگری مانند k وجود داشته باشد به طوری که a = k × b. به عبارت ساده‌تر، اگر عدد a را بر عدد b تقسیم کنیم، باقیمانده‌ای نداشته باشد. برای مثال، عدد 15 بر 3 بخش‌پذیر است زیرا 15 = 5 × 3 و باقیمانده تقسیم صفر است.
قوانین بخش‌پذیری بر اعداد تک‌رقمی
برای تشخیص سریع بخش‌پذیری یک عدد، بدون انجام تقسیم کامل، قوانینی وجود دارد. این قوانین بر اساس بررسی رقم‌های عدد کار می‌کنند.
| عدد | شرط بخش‌پذیری | مثال |
|---|---|---|
| 2 | رقم یکان عدد زوج باشد (0, 2, 4, 6, 8) | 138 (یکان ۸ است) |
| 3 | مجموع رقم‌های عدد بر ۳ بخش‌پذیر باشد | 123 (1+2+3=6 که بر ۳ بخش‌پذیر است) |
| 4 | عدد دو رقمی تشکیل‌شده از دو رقم آخر بر ۴ بخش‌پذیر باشد | 2316 (عدد 16 بر ۴ بخش‌پذیر است) |
| 5 | رقم یکان عدد ۰ یا ۵ باشد | 875 (یکان ۵ است) |
| 6 | عدد بر هر دو عدد ۲ و ۳ بخش‌پذیر باشد | 54 (زوج است و 5+4=9 بر ۳ بخش‌پذیر است) |
| 9 | مجموع رقم‌های عدد بر ۹ بخش‌پذیر باشد | 918 (9+1+8=18 که بر ۹ بخش‌پذیر است) |
| 10 | رقم یکان عدد ۰ باشد | 450 |
بخش‌پذیری و اعداد اول
عدد اول1 عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که تنها بر ۱ و بر خودش بخش‌پذیر باشد. مانند ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و... تشخیص اعداد اول با استفاده از قوانین بخش‌پذیری بسیار آسان‌تر می‌شود. برای مثال، برای تشخیص اول بودن عدد ۱۳۷، کافی است بررسی کنیم که این عدد بر هیچ‌یک از اعداد اول کوچکتر از خودش (۲, ۳, ۵, 7, 11) بخش‌پذیر نباشد.
از قوانین بخش‌پذیری برای تجزیهٔ اعداد به عوامل اول2 نیز استفاده می‌شود. این کار که به آن «فاکتورگیری» نیز می‌گویند، پایه‌ای برای بسیاری از مفاهیم پیشرفته‌تر ریاضی، مانند پیدا کردن ب.م.م3 و ک.م.م4، است.
کاربرد بخش‌پذیری در زندگی و ریاضی
شاید فکر کنید بخش‌پذیری فقط یک موضوع تئوری است، اما کاربردهای عملی فراوانی دارد. وقتی می‌خواهید یک کیک را بین چند نفر به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید، در حال استفاده از مفهوم بخش‌پذیری هستید! اگر تعداد برش‌های کیک بر تعداد افراد بخش‌پذیر نباشد، کار شما سخت می‌شود.
یکی از مهم‌ترین کاربردهای بخش‌پذیری، ساده کردن کسرها است. برای ساده کردن کسر $\frac{24}{36}$، باید بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک (ب.م.م) صورت و مخرج را پیدا کنیم. با استفاده از قوانین بخش‌پذیری متوجه می‌شویم هر دو عدد بر ۲، ۳، ۴، ۶ و ۱۲ بخش‌پذیر هستند. بزرگترین آن‌ها ۱۲ است. بنابراین: $\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$.
در برنامه‌نویسی کامپیوتر نیز از این قوانین برای طراحی الگوریتم‌ها استفاده می‌شود، مثلاً برای تولید اعداد تصادفی یا چک کردن صحت اطلاعات واردشده (Validation).
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. طبق تعریف، عدد اول باید دقیقاً دو مقسوم‌علیه5 متمایز داشته باشد (۱ و خودش). عدد ۱ فقط یک مقسوم‌علیه دارد (خود عدد ۱)، بنابراین اول نیست.
چون ۲ و ۳ اعداد اولی هستند که در تجزیهٔ عامل اول عدد ۶ ($6 = 2 \times 3$) وجود دارند. اگر عددی بر هر دو بخش‌پذیر باشد، حتماً بر حاصلضرب آن‌ها نیز بخش‌پذیر خواهد بود. این قانون برای هر دو عدد اول متفاوت دیگر نیز صادق است.
برای اعداد مرکب، می‌توان آن‌ها را به عوامل اول نسبتش داد. برای بخش‌پذیری بر ۱۲ ($12 = 2^2 \times 3$)، عدد باید هم بر ۴ و هم بر ۳ بخش‌پذیر باشد. برای بخش‌پذیری بر ۱۸ ($18 = 2 \times 3^2$)، عدد باید هم بر ۲ و هم بر ۹ بخش‌پذیر باشد.
پاورقی
1 عدد اول (Prime Number): عددی طبیعی بزرگتر از ۱ که تنها بر ۱ و خودش بخش‌پذیر باشد.
2 تجزیه به عوامل اول (Prime Factorization): نمایش یک عدد به صورت حاصلضرب عوامل اول آن.
3 ب.م.م (GCD - Greatest Common Divisor): بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر هستند.
4 ک.م.م (LCM - Least Common Multiple): کوچکترین عددی که بر هر دو عدد بخش‌پذیر باشد.
5 مقسوم‌علیه (Divisor): عددی که عدد دیگری بر آن بخش‌پذیر است.