$\begin{align}
& \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\sin }^{3}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}\,=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\sin x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)} \\
& =\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\sin x+{{\sin }^{2}}x}{1+\sin x}=\frac{1+1+1}{1+1}=\frac{3}{2} \\
& f(\frac{\pi }{2})=a\,\cos (\frac{4\times \frac{\pi }{2}}{3})+1=a\,\cos (\frac{2\pi }{3})+1=-\frac{1}{2}a+1 \\
\end{align}$
باید مقدار تابع با حد آن برابر باشد. پس:
$-\frac{1}{2}a+1=\frac{3}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\Rightarrow a=-1$