برای به‌دست آوردن نقطهٔ تقاطع خط و سهمی کافی است ضابطهٔ آنها را برابر یک‌دیگر قرار دهیم:

$\eqalign{
  & y =  - 2{x^2} + 3x - 5  \cr 
  & y =  - 8x + 9 \cr} $

$ \Rightarrow  - 2{x^2} + 3x - 5 =  - 8x + 9 \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 14 = 0$

حال معادلهٔ به‌دست آمده را با استفاده از روش $\Delta $ حل می‌کنیم:

$2{x^2} - 11x + 14 = 0 \to a{x^2} + bx + c = 0 \to $

$\eqalign{
  & a = 2  \cr 
  & b =  - 11  \cr 
  & c = 14 \cr} $

$\Delta  = {b^2} - 4ac \Rightarrow \Delta  = {( - 11)^2} - 4 \times (2) \times (14) = 121 - 112 = 9$

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - ( - 11) + \sqrt 9 }}{{2 \times 2}} = \frac{{11 + 3}}{4} = \frac{{14}}{4} = \frac{7}{2}$

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} \Rightarrow {x_2} = \frac{{ - ( - 11) - \sqrt 9 }}{{2 \times 2}} = \frac{{11 - 3}}{4} = \frac{8}{4} = 2$

حال با جایگذاری $x = 2$ و $x = \frac{7}{2}$ در رابطهٔ تابع خطی، عرض نقاط برخورد را می‌یابیم:

$y =  - 8x + 9 \Rightarrow $

$\eqalign{
  & y =  - 8 \times 2 + 9 =  - 16 + 9 =  - 7 \Rightarrow (2, - 7)  \cr 
  & y =  - 8 \times \frac{7}{2} + 9 =  - 28 + 9 =  - 19 \Rightarrow (\frac{7}{2}, - 19) \cr} $