مثلث مطابق شکل در داخل منحنی محاط شده است، به گونه‌ای که یک رأس آن روی مبدأ مختصات و 2 رأس دیگر آن روی منحنی قرار دارد. اگر مساحت قسمت هاشور خورده در شکل کمترین…

موبایل / ایمیل

قوانین و مقررات را خواندم و می پذیرم.

لطفا کدی که به {{ identity }} ارسال شده است را وارد کنید.

کد فعال سازی :

بنظر میرسد شما قادر به دریافت پیامکهای ما نیستید!
لطفا برای فعال سازی کد
{{ receive_code }}
را از طریق شماره
{{ identity }}
به شماره
100078000
ارسال کنید.

منتظر بمانید تا فعال سازی انجام شود!

منتظر دریافت پیامک شما ...

لطفا برای حساب خود رمز عبور انتخاب کنید.

رمزعبور :

تکرار رمزعبور :

انصراف

موبایل / ایمیل

ورود | ثبت نام

لطفا کدی که برای شما ارسال شده است را وارد کنید.

کد فعال سازی :

ارسال مجدد کد فعال سازی {{ countDown }}

منتظر دریافت پیامک شما ...

برای حساب خود رمز عبور جدید انتخاب کنید.

رمزعبور :

تکرار رمزعبور :

انصراف

لطفا کمی صبر کنید ...

موبایل / ایمیل

رمزعبور

رمز عبور خود را فراموش کردید؟ بازیابی کنید.

هنوز عضو نشده اید؟ ثبت نام کنید.

انصراف

گزینه انتخاب شده در پاسخنامه درست نیست.

بیش از یک گزینه درست وجود دارد.

هیچ گزینه ای درست نیست.

اشکال تایپی در صورت سوال یا در گزینه ها وجود دارد.

این تست با تست دیگری در همین آزمون تشابه دارد.

در پاسخ تشریحی اشکال وجود دارد.

این تست خارج از بودجه بندی یا مبحث مورد نظر است.

سایر موارد

حداقل 25 کاراکتر باید وارد کنید.

درس 2: بهینه سازی ریاضی (3) دوازدهم دوره دوم متوسطه- نظری علوم تجربی درسنامه آموزشی این مبحث

مثلث $OAB$ مطابق شکل در داخل منحنی $y=\sqrt{2-{{x}^{2}}}$ محاط شده است، به گونه‌ای که یک رأس آن روی مبدأ مختصات و 2 رأس دیگر آن روی منحنی قرار دارد. اگر مساحت قسمت هاشور خورده در شکل کمترین مقدار ممکن باشد، اندازهٔ میانهٔ وارد بر ضلع $AB$ کدام است؟

1 )

2 )

$\sqrt{2}$

3 )

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4 )

$\frac{1}{2}$

نمایش پاسخ

با توجه به ثابت بودن كل مساحت محصور بين منحنی و محور $x$ها، برای آن كه مساحت قسمت هاشور خورده، كمترين مقدار ممكن شود، لازم است كه مساحت مثلث $OAB$، بيشترين باشد.

اگر مختصات رأس $A$ از مثلث را $(x,y)$ در نظر بگيريم، قاعدهٔ مثلث $(AB)$ برابر $2x$ و ارتفاع مثلث $(OH)$ برابر $y$ خواهد بود. پس مساحت اين مثلث متساوی ‌الساقين برابر است با: $S=\frac{1}{2}(AB)(OH)=\frac{1}{2}(2x)(y)=xy$

$S$ را به صورت تابعی از $X$ در می‌نويسيم:

$S(x)=x\sqrt{2-{{x}^{2}}}$

نقاط بحرانی تابع $S$ را می‌يابيم:

${S}'(x)=0\Rightarrow 1\times \sqrt{2-{{x}^{2}}}+\frac{-2x}{2\sqrt{2-{{x}^{2}}}}\times x=0\Rightarrow \sqrt{2-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}=0$

$\Rightarrow \frac{(2-{{x}^{2}})-{{x}^{2}}}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}=0\Rightarrow 2-2{{x}^{2}}=0$

$\Rightarrow {{x}^{2}}=1\Rightarrow x=\pm 1\xrightarrow{A}x=1$

$\Rightarrow OH=y=\sqrt{2-{{x}^{2}}}\xrightarrow{x=1}y=1$

حال از آن ‌جا كه در مثلث متساوی ‌الساقين، ميانه و ارتفاع وارد بر قاعده بر هم منطبق‌اند، مقدار ميانه نيز برابر 1 خواهد بود.