نکته: توابع $y=a\operatorname{Sin}bx+c$ و $y=a\operatorname{Cos}bx+c$ دارای مقدار ماکزیمم $\left| a \right|+c$ و مقدار مینیمم $-\left| a \right|+c$ و دوره‌ی تناوب $\frac{2\pi }{\left| b \right|}$ است.

ماکزیمم تابع $f(x)=a\operatorname{Sin}(a\pi x)+3a$ برابر $\left| a \right|+3a$ و مینیمم آن برابر $-\left| a \right|+3a$ است.

با توجه به برد تابع، ماکزیمم تابع برابر $-1$ و مینیمم آن برابر $-2$ است.

اگر $a$ عددی مثبت باشد داریم $\left| a \right|+3a=a+3a=4a$، یعنی $4a=-1$ و $a=-\frac{1}{4}$ که غیرقابل قبول است. پس $a$ عددی منفی است.

$a \lt 0\,:\,\left\{ \begin{matrix}    Max=-a+3a=2a  \\    Min=+a+3a=4a  \\ \end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    2a=-1  \\    4a=-2  \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$ 

بنابراین تابع به‌‌صورت $f(x)=\frac{1}{2}\operatorname{Sin}(-\frac{\pi }{2}x)-\frac{3}{2}$ است و دوره‌ی تناوب آن برابر است با:

$T=\frac{2\pi }{\left| -\frac{\pi }{2} \right|}=4$