${{{f}'}_{+}}(2)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| a{{x}^{2}}-4a \right|-0}{x-2}$

$=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| a \right|\left| x-2 \right|\left| x+2 \right|}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| a \right|(x-2)(4)}{x-2}=4\left| a \right|$

${{{f}'}_{-}}(2)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| a \right|\left| x-2 \right|\left| x+2 \right|}{x-2}$

$=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| a \right|(-x+2)(4)}{x-2}=-4\left| a \right|$

چون قرار است دو نیم‌مماس بر هم عمود باشند، پس باید شیب‌هایشان قرینه و معکوس هم باشد:

$\Rightarrow {{{f}'}_{+}}(2){{{f}'}_{-}}(2)=-1\Rightarrow (4\left| a \right|)(-4\left| a \right|)=-1\Rightarrow 16{{\left| a \right|}^{2}}=1\Rightarrow \left| a \right|=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\pm \frac{1}{4}$