برای محاسبه مقدار جنس مصرفی باید سطح جانبی مخروط را محاسبه کنیم.

$\Rightarrow {{S}_{janeby}}=\pi rl=\pi r(\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}})}\,\,\,\,\,\,(*)$

برای محاسبهٔ کمترین مقدار جنس مصرفی، باید می‌نیمم $S$ را محاسبه کنیم. اما چون رابطه، دو متغیره است باید آن را تک متغیره کنیم. از آنجا که حجم برابر $\frac{\pi }{3}$ است، بنابراین:

$\frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}{{\pi }^{2}}h\Rightarrow {{r}^{2}}h=1\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{1}{h}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{1}{h}}$

با جایگذاری این تساوی در $(*)$ داریم:

$S=\pi \left( \sqrt{\frac{1}{h}} \right)\sqrt{\frac{1}{h}+{{h}^{2}}}\Rightarrow S=\pi \sqrt{\frac{1}{{{h}^{2}}}+h}$

حال از تابع $S$ بر حسب $h$ (ارتفاع) مشتق گرفته و برابر صفر قرار می‌دهیم:

$S'(h)=\pi \left( \frac{-\frac{2}{{{h}^{3}}}+1}{2\sqrt{\frac{1}{{{h}^{2}}}}+h} \right)=0\Rightarrow -\frac{2}{{{h}^{3}}}+1=0\Rightarrow \frac{2}{{{h}^{3}}}=1$