کافی است نشان دهیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f\left( x \right) = f\left( \alpha  \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)} \right) $

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {x - \alpha } \right)(\frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{x - \alpha }}) $

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {x - \alpha } \right) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha }  \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } (\frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{x - \alpha }})$

$ = 0 \times f'\left( \alpha  \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \left( {f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)} \right) = 0$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } f\left( x \right) = f\left( \alpha  \right)$