راه حل اول:
$\frac{\sqrt[m]{n}\times \sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{m}\times \sqrt[m]{m}}=\frac{{{n}^{\frac{1}{m}}}\times {{n}^{\frac{1}{n}}}}{{{m}^{\frac{1}{n}}}\times {{m}^{\frac{1}{m}}}}=\frac{{{n}^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}}{{{m}^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}}={{(\frac{n}{m})}^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}={{(\frac{n}{m})}^{\frac{m+n}{mn}}}=\sqrt[mn]{{{(\frac{n}{m})}^{m+n}}}$
راه حل دوم:
$\frac{\sqrt[m]{n}\times \sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{m}\times \sqrt[m]{m}}=\frac{\sqrt[mn]{{{n}^{n}}}\times \sqrt[mn]{{{n}^{m}}}}{\sqrt[mn]{{{m}^{m}}}\times \sqrt[mn]{{{m}^{n}}}}=\frac{\sqrt[mn]{{{n}^{n}}\times {{n}^{m}}}}{\sqrt[mn]{{{m}^{m}}\times {{m}^{n}}}}=\frac{\sqrt[mn]{{{n}^{m+n}}}}{\sqrt[mn]{{{m}^{m+n}}}}=\sqrt[mn]{\frac{{{n}^{m+n}}}{{{m}^{m+n}}}}=\sqrt[mn]{{{(\frac{n}{m})}^{m+n}}}$