بررسی گزینه‌ها:

$x=0\Rightarrow 0+\left| y \right|=1\Rightarrow y=\pm 1\Rightarrow $گزینه‌های 1 و 2 تابع نیستند

اگر $A=\left[ 1,+\left. \infty  \right) \right.$ باشد آن‌گاه f برابر با تهی است، زیرا:

$A=\left[ 1,\left. +\infty  \right) \right.\xrightarrow[y\gt0]{x\gt0}x+y=1\Rightarrow y=1-x$

در نتیجه داریم:

$x\ge 1\Rightarrow -x\le -1\Rightarrow 1-x\le 0\Rightarrow y\le 0\Rightarrow y\notin A\Rightarrow $ گزینهٔ 4 نادرست است

اما در گزینهٔ 3 داريم:

$x,y\in \left[ 0,1 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   x+y=1\Rightarrow y=1-x  \\
   0\le x\le 1\Rightarrow -1\le -x\le 0\Rightarrow 0\le 1-x\le 1  \\
\end{matrix} \right.$