گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

در اثبات نامساوی $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ از طریق اثبات بازگشتی، رابطه‌ی بدیهی به‌دست آمده کدام است؟ ($x$ و $y$ دو عدد حقیقی مثبت هستند.)

1 ) 

${{(x+y)}^{2}}\rangle 0$ 

2 ) 

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\rangle 0$ 

3 ) 

${{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^{2}}\ge 0$ 

4 ) 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\rangle 0$ 

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}\ge \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\overset{\times (\sqrt{xy})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\longleftrightarrow}{{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}^{2}}\ge 4\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}\ge 4\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge 0\Leftrightarrow {{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^{2}}\ge 0$ 

با توجه به آن‌که تمامی روابط بازگشت‌پذیر هستند، پس حکم ثابت می‌شود.

تحلیل ویدئویی تست

رضا زینی وند