جملهٔ چهاردهم $\frac{2}{3}$ است: ${{a}_{14}}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{a}_{1}}+13d=\frac{2}{3}$

جملهٔ نهم $\frac{1}{4}$ است: ${{a}_{9}}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{a}_{1}}+8d=\frac{1}{4}$

دو معادلهٔ بالا را در یک دستگاه حل می‌کنیم تا ${{a}_{1}}$ و $d$ به دست آید:

$\begin{align}
& \left\{ \begin{matrix}
{{a}_{1}}+13d=\frac{2}{3}  \\
{{a}_{1}}+5d=\frac{1}{4}  \\
\end{matrix} \right.\,\,\begin{matrix}
\xrightarrow{{}}  \\
\xrightarrow{\times (-1)}  \\
\end{matrix}\,\,\,\underline{\left\{ \begin{matrix}
{{a}_{1}}+13d=\frac{2}{3}  \\
-{{a}_{1}}-8d=\frac{-1}{4}  \\
\end{matrix} \right.\,\,\,}\oplus  \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5d=\frac{2}{3}-\frac{1}{4} \\
\end{align}$

$\Rightarrow 5d=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}\Rightarrow d=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{1}}=\frac{1}{12}$

$d=\frac{1}{12}$ را در معادلهٔ دوم قرار می‌دهیم:

${{a}_{1}}+8d=\frac{1}{4}\xrightarrow{d=\frac{1}{12}}{{a}_{1}}+8(\frac{1}{12})=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow {{a}_{1}}+\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{a}_{1}}=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3-8}{12}=\frac{-5}{12}$

با داشتن $\frac{-5}{12}$ و $d=\frac{1}{12}$، جملهٔ‌ عمومی دنباله را می‌نویسیم:

${{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d\Rightarrow {{a}_{n}}=\frac{-5}{12}+(n-1)(\frac{1}{12})$

$\Rightarrow {{a}_{n}}=\frac{-5}{12}+\frac{n}{12}-\frac{1}{12}\Rightarrow {{a}_{n}}=\frac{n-6}{12}$

برای این‌که ببینیم جملهٔ چندم دنباله برابر صفر است جملهٔ عمومی آن را مساوی صفر می‌گذاریم و $n$ را به دست می‌آوریم:

${{a}_{n}}=0\Rightarrow \frac{n-6}{12}=0\Rightarrow n-6=0\Rightarrow =n=6$