صورت مسئله
A = {x^2 + k | x∈Z، −3 ≤ x < k} و k ثابت است. می‌دانیم {6، 9} ⊆ A. بگویید k عضو کدام مجموعه از گزینه‌هاست.

راه‌حل مرحله‌به‌مرحله

چون 6 و 9 در A هستند، اعدادی صحیح x1 و x2 وجود دارند که:
x1^2 + k = 6
x2^2 + k = 9

تفاضل دو معادله:
x2^2 − x1^2 = 3 ⇒ (x2 − x1)(x2 + x1) = 3

3 فقط به صورت‌های 1×3 و (−1)×(−3) فاکتور می‌شود. بنابراین دو حالت ممکن برای (x2 − x1, x2 + x1):
(1, 3) یا (−1, −3)

از حل دستگاه‌ها به دست می‌آید:
حالت اول: x2 = 2 ، x1 = 1
حالت دوم: x2 = −2 ، x1 = −1
هر دو حالت مقادیر مربعی یکسان می‌دهند.

محاسبه k با استفاده از x1^2 + k = 6:
اگر x1 = 1 ⇒ k = 6 − 1 = 5
(با x1 = −1 هم k = 6 − 1 = 5 می‌شود)

بررسی شرط دامنه −3 ≤ x < k:
برای k = 5، دامنه −3 ≤ x < 5 است. مقادیر x = 1 و x = 2 (یا −1 و −2) داخل دامنه‌اند؛ پس فرض سازگار است.

اکنون باید دید k = 5 در کدام گزینه قرار می‌گیرد:
گزینه 1: {5x + 1 | x∈Z} ⇒ 5 = 5x + 1 ⇒ x = 4/5 (غیرصحیح) رد
گزینه 2: {4x + 3 | x∈Z} ⇒ 5 = 4x + 3 ⇒ x = 1/2 (غیرصحیح) رد
گزینه 3: {2x + 6 | x∈Z} ⇒ 5 = 2x + 6 ⇒ x = −1/2 (غیرصحیح) رد
گزینه 4: {3x − 4 | x∈Z} ⇒ 5 = 3x − 4 ⇒ x = 3 (صحیح)

نتیجه
k = 5 و تنها مجموعه‌ای که 5 را در خود دارد گزینه 4 یعنی {3x − 4 | x∈Z} است. پاسخ نهایی: گزینه 4.