با توجه به اطلاعات داده شده می‌توان گفت:

${a^2} - a + 1 = 0 \Rightarrow {a^2} = a - 1$

ضرب می‌کنیم a دو طرف را در ${a^2} \times a = a\left( {a - 1} \right) \Rightarrow {a^3} = {a^2} - a\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای داریم:

${\left( {{a^3} - \frac{1}{{{a^3}}}} \right)^2} = {a^6} - 2\left( {{a^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) + \frac{1}{{{a^6}}} = {a^6} - 2 + \frac{1}{{{a^6}}} \Rightarrow {a^6} + \frac{1}{{{a^6}}} = {\left( {{a^3} - \frac{1}{{{a^3}}}} \right)^2} + 2$

با توجه به رابطهٔ 1 $ \to ({a^2} - a - \frac{1}{{{a^2} - a}}) + 2 = \frac{{{{({a^2} - a)}^2} - 1}}{{{a^2} - a}} + 2$

تجزیه به کمک اتحاد مزدوج $ \to \frac{{({a^2} - a - 1)(\overbrace {{a^2} - a + 1}^0)}}{{{a^2} - a}} + 2 = 0 + 2 = 2$