نکته: مشتق راست و مشتق چپ تابع $f$ در $x=a$ را با ${{{f}'}_{+}}(a)$ و ${{{f}'}_{-}}(a)$ نمايش می‌دهيم و آن را به‌صورت زير تعريف می‌كنيم:

${{{f}'}_{+}}(a)=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

${{{f}'}_{-}}(a)=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ابتدا تابع $gof$ را ساده می‌كنيم. البته دقت كنيد چون $f$ و $g$ در $x=0$ توابع مشتق‌پذير نمی‌باشند، نمی‌توان از قضايای مشتق در مورد تابع $gof$ كمک گرفت. 

$x\gt 0:f(x)=4x,f(x)\gt 0\Rightarrow (gof)(x)=\frac{5}{4}\times 4x-a\left| 4x \right|=(5-4a)x$

$x\lt 0:f(x)=2x,f(x)\lt 0\Rightarrow (gof)(x)=\frac{5}{4}\times 2x-a\left| 2x \right|=(\frac{5}{2}+2a)x$

تابع $gof$ در $x=0$ بايد مشتق‌پذير باشد، يعنی مشتق چپ و راست آن در $x=0$ برابر شوند: 

$\left\{ \begin{matrix} (gof{)}'+(0)=5-4a  \\ (gof{)}'+(0)=\frac{5}{2}+2a  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow 5-4a=\frac{5}{2}+2a\Rightarrow 6a=\frac{5}{2}\Rightarrow a= \frac{5}{12}$