فرض کنیم ${{x}_{1}}$ و ${{x}_{2}}$ ریشه‌های معادله باشند چون $\sqrt{3}$ واسطه هندسی آن‌هاست لذا

${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(\sqrt{3})}^{2}}=3$

از طرفی 

${{x}_{1}}{{x}_{2}}=P=\frac{c}{a}=\frac{{{m}^{2}}-4}{m}$

لذا $\frac{{{m}^{2}}-4}{m}=3$  بنابراین

${{m}^{2}}-4=3m\Rightarrow {{m}^{2}}-3m-4=0\Rightarrow (m-4)(m+1)=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
  & m-4=0 \\ 
 & m+1=0 \\ 
\end{align} \right.\Rightarrow m=4,-1$

اگر $m=4$ آن‌گاه معادله داده شده به صورت $4{{x}^{2}}-4x+12=0$ می‌باشد و بنابراین

$\Delta ={{(-4)}^{2}}-4(4)12=16-16\times 12 \lt 0$

اما معادله داده شده باید دو ریشه داشته باشد لذا $m=4$  غیرقابل قبول است. اگر $m=-1$ آن‌گاه معادله داده شده به صورت $-{{x}^{2}}-4x-3=0$ می‌باشد و بنابراین

$\Delta ={{(-4)}^{2}}-4(-1)(-3)=16-12=4 \gt 0$

بنابراین $m=-1$  قابل قبول است و معادله داده شده $-{{x}^{2}}-4x-3=0$ می‌باشد و لذا

$S=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{-1}=-4$