نکته: مطابق با مسئله هرون، مطابق شکل، برای تعیین مکان نقطه‌ی M روی خط d به‌طوری‌که طول مسیر AMN کم‌ترین مقدار ممکن باشد، کافیست بازتاب نقطه‌ی A نسبت به خط d را ${A}'$ نامیده و از ${A}'$ به B وصل کنیم. محل تلاقی ${A}'B$ با خط d، مکان نقطه‌ی M خواهد بود.

$\begin{align}
  & 1)\,{{{\hat{M}}}_{1}}={{{\hat{M}}}_{2}}={{{\hat{M}}}_{3}} \\ 
 & 2)\,AH={A}'H \\ 
 & 3)\,AM={A}'M \\ 
\end{align}$

به‌کمک اطلاعات مسئله، مطابق شکل و با توجه به نکته، داریم:

$\begin{align}
  & {{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}\times C{H}'\times AB=108\Rightarrow \frac{1}{2}\times C{H}'\times 24=108 \\ 
 & \Rightarrow C{H}'=9=AH=A{H}'\Rightarrow A{A}'=18 \\ 
\end{align}$

به‌کمک قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث $A{A}'B$، خواهیم داشت:

${A}'B=\sqrt{{{18}^{2}}+{{24}^{2}}}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$

و در نهایت، کم‌ترین محیط مثلث ABC، براب است با:

$AB+AC+BC=24+{A}'C+BC=24+{A}'B=24+30=54$

بنابراین گزینه‌ی 1 پاسخ است.