نكته: جواب‌های كلی معادلۀ $\operatorname{sinx}=\operatorname{sina}$ به صورت $x=\left( 2k+1 \right)\pi -a,x=2k\pi +a$ است که $k\in z$ .

نكته: جواب‌های كلی معادلۀ $\operatorname{cosx}=\operatorname{cosa}$ به صورت $x=2k\pi \pm a$ است که $k\in z$.

نکته: $2\sin 2a=2\operatorname{sina}\operatorname{cosa}$ 

نکته: $\cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a$ 

سمت راست تساوی را به كمك اتحاد مزدوج ساده می‌كنيم. داريم:

$\sin 4x=\left( \underbrace{{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}_{1} \right)\left( \underbrace{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}_{\cos 2x} \right)$

$2\sin 2x\cos 2x=\cos 2x\Rightarrow \cos 2x\left( 2\sin 2x-1 \right)=0$ 

$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = 2k\pi  \pm \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = k\pi  \pm \frac{\pi }{4} \to x = \frac{\pi }{4},\frac{{3\pi }}{4} \sin 2x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   {{}2x = 2k\pi  + \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = k\pi  + \frac{\pi }{{12}} \to x = \frac{\pi }{{12}}}  \\ 
   {{}2x = 2k\pi  + \pi  - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = k\pi  + \frac{{5\pi }}{{12}} \to x = \frac{{5\pi }}{{12}}}  \\  \end{matrix} \right.$

 بنابراين اختلاف بزرگ‌ترين و كو‌چك‌ترين ريشه برابر است با:

$\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{12}=\frac{8\pi }{12}=\frac{2\pi }{3}$