گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!
  آیا شما ربات هستید؟

مطابق شكل، مثلثی متساوی‌الاضلاع داريم كه در هر مرحله، اوساط اضلاع آن را به هم متصل می‌كنيم تا مثلثی جديد تشكيل شود. در مرحلهٔ $n$ام اختلاف محيط مثلث رنگی ايجاد شده با عددی كه محيط‌های مثلث‌های رنگی به آن نزديک می‌شوند، كم‌تر از $\frac{1}{150}$ می‌شود، حداقل مقدار $n$ کدام است؟ (طول ضلع مثلث مرحلهٔ اول را واحد درنظر بگيريد.)

1 ) 

8

2 ) 

9

3 ) 

10

4 ) 

11

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

در هر مرحله مثلث اصلی به 4 مثلث همنهشت تقسيم می‌شود كه هر كدام با مثلث اوليه متشابه هستند، بنابراين مساحت مثلث $\frac{1}{4}$ برابر می‌شود در نتیجه:

${{k}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\frac{1}{2}$

بنابراين طول ضلع مثلث در هر مرحله $\frac{1}{2}$ برابر می‌شود:

با توجه به جدول متوجه می‌شويم كه جملات در حال نزديک شدن به صفر هستند، بنابراين حد جملات صفر است:

$\left| 3{{(\frac{1}{2})}^{n-1}}-0 \right|\lt \frac{1}{150}$

$\Rightarrow {{(\frac{1}{2})}^{n-1}}\lt \frac{1}{450}\Rightarrow {{2}^{n-1}}\gt 450$

$\Rightarrow {{2}^{n}}\gt 900\xrightarrow{n}n\ge 10$

تحلیل ویدئویی تست

عادل نوری