گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

مطابق شكل، مثلثی متساوی‌الاضلاع داريم كه در هر مرحله، اوساط اضلاع آن را به هم متصل می‌كنيم تا مثلثی جديد تشكيل شود. در مرحلهٔ $n$ام اختلاف محيط مثلث رنگی ايجاد شده با عددی كه محيط‌های مثلث‌های رنگی به آن نزديک می‌شوند، كم‌تر از $\frac{1}{150}$ می‌شود، حداقل مقدار $n$ کدام است؟ (طول ضلع مثلث مرحلهٔ اول را واحد درنظر بگيريد.)

1 ) 

8

2 ) 

9

3 ) 

10

4 ) 

11

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

در هر مرحله مثلث اصلی به 4 مثلث همنهشت تقسيم می‌شود كه هر كدام با مثلث اوليه متشابه هستند، بنابراين مساحت مثلث $\frac{1}{4}$ برابر می‌شود در نتیجه:

${{k}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\frac{1}{2}$

بنابراين طول ضلع مثلث در هر مرحله $\frac{1}{2}$ برابر می‌شود:

با توجه به جدول متوجه می‌شويم كه جملات در حال نزديک شدن به صفر هستند، بنابراين حد جملات صفر است:

$\left| 3{{(\frac{1}{2})}^{n-1}}-0 \right|\lt \frac{1}{150}$

$\Rightarrow {{(\frac{1}{2})}^{n-1}}\lt \frac{1}{450}\Rightarrow {{2}^{n-1}}\gt 450$

$\Rightarrow {{2}^{n}}\gt 900\xrightarrow{n}n\ge 10$

تحلیل ویدئویی تست

مجید قادری