گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

اگر $x=-2$ و $x=3$ طول دو نقطهٔ بحرانی تابع $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+2$ باشد، عرض نقطۀ عطف تابع كدام است؟

1 ) 

$-\frac{6}{5}$

2 ) 

$-\frac{25}{12}$

3 ) 

$-\frac{13}{12}$

4 ) 

$-\frac{5}{6}$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

نكته: فرض كنيم تابع $f$ در نقطۀ $x=c$ پيوسته است. در اين صورت نقطۀ $(c,f(c))$ نقطۀ عطف تابع $f$ است، هرگاه دو شرط زير برقرار باشد:

الف) نمودار $f$ در نقطۀ $(c,f(c))$ خط مماس داشته باشد.

ب) جهت تقعر $f$ در نقطۀ $(c,f(c))$ تغيير كند.

چون $f$ تابعی مشتق‌پذیر است، پس اگر 2- و 3 طول نقاط بحرانی باشند، باید: ${f}'(-2)=0$ و ${f}'(3)=0$

${f}'(x)={{x}^{2}}+2ax+b=0$

$\left\{ \begin{matrix} {f}'(-2)=0\Rightarrow 4-4a+b=0  \\ {f}'(3)=0\Rightarrow 9+6a+b=0  \\ \end{matrix}\Rightarrow a=-\frac{1}{2},b=-6 \right.$

پس ضابطهٔ تابع به‌صورت $f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x+2$ است. حال مختصات نقطهٔ عطف را به‌دست می‌آوریم:

${f}'(x)={{x}^{2}}-x-6\Rightarrow {f}''(x)=2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow f(\frac{1}{2})=-\frac{13}{12}$

بنابراين مختصات نقطۀ عطف به‌صورت $(\frac{1}{2},-\frac{13}{12})$ است و گزینهٔ 3 پاسخ است.

تحلیل ویدئویی تست

جابر عامری