ابتدا تابع را ضابطه‌بندی می‌کنیم:

$f(x)=\left\{ \begin{align}  & x({{x}^{2}}-1)\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,{{x}^{2}}\ge 1 \\  & x(-{{x}^{2}}+1)\,\,\,,\,\,\,{{x}^{2}} \gt 1 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{align}  & {{x}^{3}}-x\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,x\ge 1\,ya\,x\le -1 \\  & -{{x}^{3}}+x\,\,\,,\,\,\,\,\,\,-1 \lt x \lt 1 \\ \end{align} \right.$

$f'(x)=\left\{ \begin{align}  & 3{{x}^{2}}-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,x \gt 1ya\,x \lt -1 \\  & -3{{x}^{2}}+x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,-1 \lt x \lt 1 \\ \end{align} \right.$

$f{{'}_{+}}(1)=2,\,f{{'}_{-}}(1)=-2$             (تابع در $x=1$ مشتق‌ناپذیر)

$f{{'}_{+}}(-1)=-2,\,f{{'}_{-}}(-1)=2$           (تابع در $x=-1$ مشتق‌ناپذیر)

$f'(x)=0\xrightarrow{zabete\,paien}-3{{x}^{2}}+1=0\to x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\in (-1,1)$

بنابراین تابع در $4$نقطهٔ $-1$، $\frac{-1}{\sqrt{3}}$، $\frac{1}{\sqrt{3}}$ و $1$ بحرانی است.