نکته: اگر ماتریس‌های $A$ و $B$ تعویض پذیر باشند $(AB=BA)$،  آنگاه همه‌ی اتحادهای جبری برای آن‌ها برقرار است.

نکته: ماتریس همانی $I$ با هر ماتریسی تعویض‌پذیر است. $(AI=IA)$ 

نکته: برای دو ماتریس مربعی هم مرتبه‌ی $A$ و $B$ اگر $BA=AB=I$، آنگاه: ${{A}^{-1}}=B$ 

نکته: اگر $A$ ماتریسی وارون‌پذیر باشد، داریم: $\left| {{A}^{-1}} \right|=\frac{1}{\left| A \right|}$

نکته: اگر $A$ یک ماتریس مربعی مرتبه $n$ باشد و $m\in R$، داریم:  $\left| mA \right|={{m}^{n}}\left| A \right|$ 

${{A}^{3}}+3I=\overline{O}\Rightarrow {{A}^{3}}+3I-2I\Rightarrow {{A}^{3}}+I=-2I$

$\Rightarrow (A+I)({{A}^{2}}-A+I)=-2I\Rightarrow -\frac{1}{2}(A+I)({{A}^{2}}-A+I)=I$

$\Rightarrow (A+I)(-\frac{1}{2}({{A}^{2}}-A+I))=I\Rightarrow {{(A+I)}^{-1}}=-\frac{1}{2}{{A}^{2}}+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}I$ 

بنابراین: $B={{(A+I)}^{-1}}+\frac{1}{2}{{A}^{2}}+\frac{1}{2}I=-\frac{1}{2}{{A}^{2}}+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}{{A}^{2}}+\frac{1}{2}I=\frac{1}{2}A\Rightarrow \left| B \right|=\left| \frac{1}{2}A \right|\Rightarrow \left| B \right|={{(\frac{1}{2})}^{3}}\left| A \right|$ 

بنابراین: $\left| B \right|\left| {{A}^{-1}} \right|=\frac{1}{8}\left| A \right|\times \frac{1}{\left| A  \right|}=\frac{1}{8}$