چون حد کسر در بی‌نهایت، یک عدد متناهی شده است، باید درجهٔ عبارت مخرج با صورت برابر باشد، پس $f(x)$ یک تابع درجهٔ دوم است، لذا داریم:

$\begin{align}
  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{(x+1)}^{2}}-5x}{a{{x}^{2}}+bx+c}=3\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+x+3}{a{{x}^{2}}+bx+c}=3 \\
 & \Rightarrow \frac{3}{a}=3\Rightarrow a=1 \\
\end{align}$

بنابراین $f(x)={{x}^{2}}+bx+c$ است. همچنین تابع  از مبدأ مختصات می‌گذرد، پس:

$\begin{align}
  & (0,0)\in f\Rightarrow 0={{0}^{2}}+b(0)+c\Rightarrow c=0 \\
 & \Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+bx\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+bx)=+\infty  \\
\end{align}$