توجه کنید که

$f'(x)=2x-{{k}^{2}}\sin x\Rightarrow f''(x)=2-{{k}^{2}}\cos x$

چون نمودار تابع $f$ نقطهٔ عطف ندارد پس علامت $f''(x)$ باید همواره نامنفی باشد یا باید همواره نامثبت باشد.

$\begin{align}  & -1\le -\cos x\le 1\Rightarrow -{{k}^{2}}\le -{{k}^{2}}\cos x\le {{k}^{2}} \\  & 2-{{k}^{2}}\le 2-{{k}^{2}}\cos x\le 2+{{k}^{2}} \\ \end{align}$

برای این که $f''(x)$ همواره نامنفی باشد باید داشته باشیم:

$2-{{k}^{2}}\ge 0\Rightarrow \left| k \right|\le \sqrt{2}$

برای این که $f''(x)$ همواره نامثبت باشد باید داشته باشیم:

$2+{{k}^{2}}\le 0$

که این رابطه امکان‌پذیر نیست.

$\Rightarrow \left| k \right|\le \sqrt{2}$