باقی‌ماندۀ تقسيم $f\left( x \right)={{x}^{10}}+k{{x}^{8}}+2{{x}^{3}}-5x+2$ بر $x-1$ برابر 4- است. پس: 

$f\left( 1 \right)=-4\Rightarrow 1+k+2-5+2=-4\Rightarrow k=-4$

باقی‌ماندۀ تقسيم $f$ بر  ${{x}^{2}}-x-2$، عبارتی حداكثر از درجۀ يك است:

$f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)g\left( x \right)+ax+b$

با جای‌گذاری ريشه‌های مقسوم‌عليه يعنی $x=2,x=-1$، داریم:

$x=-1:f\left( -1 \right)=0-a+b\Rightarrow +1-4-2+5+2=-a+b\Rightarrow -a+b=2\begin{matrix}    {} & \left( 1 \right)  \\ \end{matrix}$ 

$x=2:f\left( 2 \right)=0+2a+b\Rightarrow {{2}^{10}}-{{2}^{10}}+16-10+2=2a+b\Rightarrow 2a+b=8\begin{matrix}    {} & \left( 2 \right)  \\ \end{matrix}$ 

$\xrightarrow{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}a=2,b=4\Rightarrow r\left( x \right)=ax+b=2x+4$