راه حل اول:

نکته: برای اینکه عبارت درجه‌ی دوم $y=x^{2}+bx+c$ را به صورت مربع کامل بنویسیم کافیست عبارت را با مربع نصف ضریب $x$ جمع و تفریق کنیم.

$y={{x}^{2}}+bx+c\,\Rightarrow y={{x}^{2}}+bx+{{(\frac{b}{2})}^{2}}-{{(\frac{b}{2})}^{2}}+c\,\Rightarrow y={{(x+\frac{b}{2})}^{2}}-\frac{{{b}^{2}}}{4}+c$

با توجه به نکته برای این عبارت داریم:

$f(x)={{x}^{2}}-3x+5\,\Rightarrow f(x)={{(x-\frac{3}{2})}^{2}}-\frac{9}{4}+5\Rightarrow f(x)={{(x-\frac{3}{2})}^{2}}+\frac{11}{4}$

$\Rightarrow f(\frac{3+\sqrt{13}}{2})={{(\frac{3+\sqrt{13}}{2}-\frac{3}{2})}^{2}}+\frac{11}{4}={{(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}}+\frac{11}{4}=\frac{13}{4}+\frac{11}{4}=\frac{24}{4}=6$

راه حل دوم:

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ نکته (اتحاد مزدوج)

$f(x)={{x}^{2}}-3x+5\,\Rightarrow f(x)=x(x-3)+5$

$f(\frac{3+\sqrt{13}}{2})=(\frac{3+\sqrt{13}}{2})(\frac{3+\sqrt{13}}{2}-3)+5=(\frac{3+\sqrt{13}}{2})(\frac{\sqrt{13}-3}{2})+5=\frac{13-9}{4}+5=6$

راه حل سوم:

با جایگذاری مقدار داده شده به جای $x$ در تابع داریم:

$f(x)={{x}^{2}}-3x+5\Rightarrow f(\frac{3+\sqrt{13}}{2})={{(\frac{3+\sqrt{13}}{2})}^{2}}-3(\frac{3+\sqrt{13}}{2})+5=\frac{9+13+6\sqrt{13}}{4}-\frac{9+3\sqrt{13}}{2}+5$

$=\frac{22+6\sqrt{13}-18-6\sqrt{13}}{4}+5=\frac{4}{4}+5=6$