ابتدا توجه كنيد برای آن‌كه تابع در $x=-2$ حد داشته باشد بايد حد چپ و حد راست آن در اين نقطه موجود و با هم برابر باشند.

$f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\left| x \right|-\left[ x \right]}{x\left| x \right|};x\lt -2  \\ ax+\frac{1}{16}{{x}^{2}};x\gt -2  \\ \end{matrix} \right.$

برای محاسبهٔ حد چپ در $x=-2$ از ضابطهٔ بالايی استفاده می‌كنيم. دقت کنید وقتی $x\to {{(-2)}^{-}}$، می‌توانیم فرض کنیم $-3\lt x\lt -2$ که در این صورت $\left[ x \right]=-3$ و به دلیل منفی بودن $x$، $\left| x \right|=-x$، پس:

$\underset{x\to {{(-2)}^{-}}}{\mathop{\lim f(x)}}\,=\underset{x\to {{(-2)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|-\left[ x \right]}{x\left| x \right|}=\underset{x\to {{(-2)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+3}{x(-x)}=\frac{2+3}{-4}=-\frac{5}{4}$   (*)

برای محاسبهٔ حد راست در $x=-2$ از ضابطهٔ پايينی استفاده می‌كنيم: 

$\underset{x\to {{(-2)}^{+}}}{\mathop{\lim f(x)}}\,=\underset{x\to {{(-2)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(ax+\frac{1}{16}{{x}^{2}})=-2a+\frac{1}{16}\times 4=-2a+\frac{1}{4}$    (**)

$\xrightarrow{(*),(**)}-2a+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}\Rightarrow 2a=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{3}{4}$

چون $x=1$ در شرط ضابطهٔ پايينی قرار دارد، برای محاسبهٔ حد تابع در $x=1$ داریم:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{4}x+\frac{1}{16}{{x}^{2}} \right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$