تغییر متغیر می‌دهیم:

$x-a=t\Rightarrow x=t+a$

وقتی $x\to a$ آن‌گاه $t\to 0$ پس:

$\begin{align}
  & \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-\cos a}{x-a}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos (t+a)-\cos a}{t} \\
 & \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos t\,\cos a-\sin t\,\sin a-\cos a}{t} \\
 & \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos a(\cos t-1)\sin t\,\sin a}{t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{\sin }^{2}}\frac{t}{2}\cos a-\sin t\,\sin a}{t} \\
 & \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sin \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\times (-\sin \frac{t}{2}\cos a))-\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}(\sin a)=0-\sin a=-\sin a \\
\end{align}$