می‌خواهیم مخزنی به شکل مکعب مستطیل در باز بسازیم که حجم آن بوده و کف مخزن مربع شکل باشد. قیمت مصالح موردنیاز جهت کف این مخزن برای هر متر مربع هزار تومان و این…

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

بنظر میرسد شما قادر به دریافت پیامکهای ما نیستید!
لطفا برای فعال سازی کد
{{ receive_code }}
را از طریق شماره
{{ identity }}
به شماره
100078000
ارسال کنید.

منتظر بمانید تا فعال سازی انجام شود!

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

قوانین و مقررات را خواندم و می پذیرم.

قبلا ثبت نام کرده اید؟ وارد شوید!

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد! )

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

ورود | ثبت نام

لطفا کمی صبر کنید ...

دوست خوبم!
برای نگهداری سابقه خریدتان، نیاز به شماره موبایل (یا ایمیل) شما داریم.

موبایل یا ایمیل

رمزعبور اگه یادت نیس نزن :)

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

منتظر دریافت پیامک شما ...

ورود با رمزعبور

گزینه انتخاب شده در پاسخنامه درست نیست.

بیش از یک گزینه درست وجود دارد.

هیچ گزینه ای درست نیست.

اشکال تایپی در صورت سوال یا در گزینه ها وجود دارد.

این تست با تست دیگری در همین آزمون تشابه دارد.

در پاسخ تشریحی اشکال وجود دارد.

این تست خارج از بودجه بندی یا مبحث مورد نظر است.

سایر موارد

حداقل 25 کاراکتر باید وارد کنید.

درس 2: بهینه سازی ریاضی (3) دوازدهم دوره دوم متوسطه- نظری علوم تجربی درسنامه آموزشی این مبحث

می‌خواهیم مخزنی به شکل مکعب مستطیل در باز بسازیم که حجم آن $8{{m}^{3}}$ بوده و کف مخزن مربع شکل باشد. قیمت مصالح موردنیاز جهت کف این مخزن برای هر متر مربع $256$ هزار تومان و این قیمت برای دیواره‌ها در هر متر مربع $250$ هزار تومان است. ابعاد کف مخزن چقدر باشد، تا هزینه‌ی مصالح مصرفی کمترین مقدار ممکن گردد؟

1 )

$2/5\times 2/5$

2 )

$2\times 2$

3 )

$\sqrt[3]{4/5}\times \sqrt[3]{4/5}$

4 )

$\sqrt[3]{9}\times \sqrt[3]{9}$

نمایش پاسخ

مساحت کف مخزن مطابق شکل روبه‌رو برابر ${{x}^{2}}$ و مساحت کل دیواره‌ها برابر $4xh$ است. تابع هزینه‌ی مصالح مصرفی برابر است با:

$C=256\times {{x}^{2}}+250\times 4xh$

با توجه به اینکه حجم مخزن برابر $8{{m}^{3}}$ است، پس:

$x\times x\times h=8\Rightarrow h=\frac{8}{{{x}^{2}}}$

بنابراین تابع هزینه برحسب $x$ برابر است با: $C(x)=256{{x}^{2}}+1000x\times \frac{8}{{{x}^{2}}}\Rightarrow C(x)=256{{x}^{2}}+\frac{8000}{x}$

می‌خواهیم مینیمم تابع $C$ را پیدا کنیم، پس ابتدا با استفاده از مشتق نقاط بحرانی این تابع را پیدا می‌کنیم:

${C}'(x)=256\times 2x-\frac{8000}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow 512x=\frac{8000}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{3}}=\frac{8000}{512}\Rightarrow {{x}^{3}}=\frac{125}{8}\Rightarrow x=\frac{5}{2}$

بنابراین به‌ازای $x=2/5$ تابع هزینه کمترین مقدار ممکن می‌گردد و ابعاد کف مخزن به‌صورت $2/5\times 2/5$ خواهد بود.