با کمک فرمول مشتق تابع مرکب، مشتق $fog$ را در $x=2$ می‌نویسیم:

${{\left( fog \right)}^{\prime }}\left( x \right)={g}'\left( x \right){f}'\left( g\left( x \right) \right)\Rightarrow {{\left( fog \right)}^{\prime }}\left( 2 \right)={g}'\left( 2 \right){f}'\left( g\left( 2 \right) \right)$ 

چون $g\left( 2 \right)=\frac{1}{4}\sqrt{5\left( 2 \right)-9}=\frac{1}{4}$ ، بنابراین:

${{\left( fog \right)}^{\prime }}\left( 2 \right)={g}'\left( 2 \right){f}'\left( \frac{1}{4} \right)\begin{matrix}    {} & \left( * \right)  \\ \end{matrix}$ 

با مشتق‌گیری از توابع $g,f$ خواهیم داشت:

$f\left( x \right)={{\sin }^{2}}\pi x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2\pi \sin \pi x\cos \pi x$ 

$\Rightarrow {f}'\left( \frac{1}{4} \right)=2\pi \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}=\pi $

$g\left( x \right)=\frac{1}{4}\sqrt{5x-9}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\frac{1}{4}\times \frac{5}{2\sqrt{5x-9}}\Rightarrow {g}'\left( 2 \right)=\frac{5}{8}$

بنابراین از $\left( * \right)$ و مقادیر به دست آمده، حاصل مشتق را می‌یابیم:

${{\left( fog \right)}^{\prime }}\left( 2 \right)=\frac{5}{8}\times \pi =\frac{5\pi }{8}$