نکته: اگر $f,{{D}_{f}}=R$ در هر عدد حقیقی مشتق‌پذیر باشد، می‌گوییم $f$ روی بازهٔ $\left( -\infty ,+\infty  \right)$ مشتق‌پذیر است.

نکته: تابع $f$ در نقطهٔ $x=a$ مشتق‌پذیر است، هر گاه مشتق چپ و راست تابع $f$ در $x=a$ موجود و با هم برابر باشند.

نکته: اگر تابع $f$ در نقطهٔ $x=a$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در این نقطه پیوسته نیز هست.

در بازهٔ $\left( 2,+\infty  \right)$ تابع $y={{x}^{2}}+ax$ مشتق‌پذیر است. همچنین در بازهٔ $\left( -\infty ,2 \right)$ تابع $y=2x+b$ مشتق‌پذیر است. بنابراین برای اینکه تابع $f$ در کل $R$ مشتق‌پذیر  باشد، باید در نقطهٔ $x=2$  مشتق‌پذیر  باشد که در این صورت پیوسته نیز هست. اکنون داریم:

$\left\{ \begin{matrix}    f\left( 2 \right)=4+2a  \\    \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+ax \right)=4+2a  \\    \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+b \right)=4+b  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow 4+2a=4+b\Rightarrow b=2a$

${f}'-\left( 2 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} \frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}= \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}}  \frac{2x+b-4-2a}{x-2} $

$=  \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} \frac{2x+2a-4-2a}{x-2}= \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} \frac{2x-4}{x-2}= \displaystyle{\lim_{x \to 2^-}}  \frac{2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)}=2$

${f}'+\left( 2 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 2^+}}  \frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}= \displaystyle{\lim_{x \to 2^+}}  \frac{{{x}^{2}}+ax-4-2a}{x-2}$

$= \displaystyle{\lim_{x \to 2^+}}  \frac{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)+a\left( x-2 \right)}{x-2}= \displaystyle{\lim_{x \to 2^+}}  \frac{\left( x-2 \right)\left( x+2+a \right)}{x-2}=\displaystyle{\lim_{x \to 2^+}}  \left( x+2+a \right)=4+a$

${f}'-\left( 2 \right)={f}'+\left( 2 \right)\Rightarrow 4+a=2\Rightarrow a=-2\Rightarrow b=2a=2\left( -2 \right)=-4$ 

$a+b=-2+\left( -4 \right)=-6$