می‌دانیم

$\begin{align}  & {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=2({{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}) \\  & \Rightarrow 10+2=2({{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}})\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=6 \\ \end{align}$

با حل دستگاه زیر، اندازهٔ بردارهای $a$ و $b$ مشخص می‌شود.

$\left\{ \begin{align}  & {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=6 \\  & {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.\xrightarrow{+}2{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}=8\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}=4\Rightarrow \left| \overrightarrow{a} \right|=2$

با قرار دادن $\left| \overrightarrow{a} \right|=2$ در یکی از معادلات، $\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{2}$ به دست می‌آید.

بنابراین:

$\frac{\left| \overrightarrow{a} \right|}{\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$