همان‌طور که می‌دانیم $F\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 1 + \sqrt 2  + \frac{2}{{1 + \sqrt 2 }}$ و $F\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 1 - \sqrt 2  + \frac{2}{{1 - \sqrt 2 }}$ می‌باشد و حال باید مخرج کسرهای $\frac{2}{{1 + \sqrt 2 }}$ و $\frac{2}{{1 - \sqrt 2 }}$ را گویا کنیم.
از سال‌های قبل می‌دانیم که برای گویا کردن مخرج این‌گونه کسرها، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم و می‌دانیم مزدوج عبارت $1 + \sqrt 2 $ برابر $1 - \sqrt 2 $ می‌باشد. لذا:

$\frac{2}{{1 + \sqrt 2 }} = \frac{2}{{1 + \sqrt 2 }} \times \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{{1^2} - {{\sqrt 2 }^2}}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{1 - 2}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{ - 1}} =  - 2\left( {1 - \sqrt 2 } \right) =$
$  - 2 + 2\sqrt 2 $

همچنین مزدوج $1 - \sqrt 2 $ برابر $1 + \sqrt 2 $ می‌باشدو لذا:

$\frac{2}{{1 - \sqrt 2 }} = \frac{2}{{1 - \sqrt 2 }} \times \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \frac{{2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{{1^2} - {{\sqrt 2 }^2}}} = \frac{{2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{ - 1}} =  - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right) $
$=  - 2 - 2\sqrt 2 $

بنابراین داریم:

$F\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + F\left( {1 - \sqrt 2 } \right) =$
$ 1 + \sqrt 2  - 2 + 2\sqrt 2  + 1 - \sqrt 2  - 2 - 2\sqrt 2  =  - 2$