نکته: بسط دترمینان ماتریس $3\times 3$ برحسب سطر دوم به‌صورت زیر است:

$\left| A \right|=\left| \begin{matrix}    {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}}  \\    {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}}  \\    {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}}  \\ \end{matrix} \right|=- {{a}_{21}}\left| \begin{matrix}    {{a}_{12}} & {{a}_{13}}  \\    {{a}_{32}} & {{a}_{33}}  \\ \end{matrix} \right|+{{a}_{22}}\left| \begin{matrix}    {{a}_{11}} & {{a}_{12}}  \\    {{a}_{31}} & {{a}_{33}}  \\  \end{matrix} \right|-{{a}_{23}}\left| \begin{matrix}    {{a}_{11}} & {{a}_{12}}  \\    {{a}_{31}} &  {{a}_{32}}  \\ \end{matrix} \right|$ 

نکته: $\left| {{A}^{-1}} \right|=\frac{1}{\left| A \right|}$

با توجه به نکات بالا داریم:

$\left| A \right|=4\left| {{A}^{-1}} \right|\Rightarrow \left| A \right|=4\times \frac{1}{\left| A \right|}\Rightarrow {{\left| A \right|}^{2}}=4\Rightarrow \left| A \right|=\pm 2$ 

$A=\left[ \begin{matrix}    m & 1 & 2  \\    -2 & 0 & 3  \\    1 & 4 & m  \\ \end{matrix}  \right]\Rightarrow \left| A \right|=-(-2)\left| \begin{matrix}    1 & 2  \\    4 & m  \\ \end{matrix} \right|+0-3\left| \begin{matrix}    m & 1  \\    1 & 4  \\ \end{matrix} \right|$

$=2(m-8)-3(4m-1)=2m-16-12m+3=-10m-13$ 

$\left\{ _{\left| A \right|=-2\Rightarrow -10m-13=-2\Rightarrow m=-\frac{11}{10}=-1/1}^{\left| A \right|=2\Rightarrow -10m-13=2\Rightarrow m=-\frac{15}{10}=-1/5} \right.$ 

بنابراین مجموع مقادیر ممکن برای $m$ برابر است با: $-1/5-1/1=-2/6$