نکته: بیشترین مقدار $sinx$ و $cosx$ برابر ۱ است.

با توجه به نکته و اینکه $\cos (\widehat{A}-\widehat{B})+\sin (\frac{\widehat{B}}{2}+\widehat{C})=2$ داریم:

$\cos (\widehat{A}-\widehat{B})=1\,\,\,\,,\,\,\,\,\sin (\frac{\widehat{B}}{2}+\widehat{C})=1$

می‌دانیم زاویه‌های مثلث عددی مثبت و کوچکتر از $180^{\circ}$ است. همچنین مجموع زاویه‌های هر مثلث $180^{\circ}$ است، پس داریم:

$\cos (\widehat{A}-\widehat{B})=1\,\Rightarrow \widehat{A}-\widehat{B}={{0}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

$\sin (\frac{\widehat{B}}{2}+\widehat{C})=1\,\Rightarrow \frac{\widehat{B}}{2}+\widehat{C}={{90}^{{}^\circ }}\,\Rightarrow \widehat{B}+2\widehat{C}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow 2\widehat{C}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{B}\Rightarrow \widehat{C}=\frac{{{180}^{{}^\circ }}-\widehat{B}}{2}\,\,\,(**)$

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{{}^\circ }}\xrightarrow{(*)(**)}\widehat{B}+\widehat{B}+\frac{{{180}^{{}^\circ }}-\widehat{B}}{2}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow 3\widehat{B}+{{180}^{{}^\circ }}={{360}^{{}^\circ }}\Rightarrow 3\widehat{B}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{B}={{60}^{{}^\circ }}$

با جایگذاری در (*) و (**) داریم:

$\widehat{A}={{60}^{{}^\circ }}\,\,\,,\,\,\,\,\widehat{C}={{60}^{{}^\circ }}$

چونی تمامی زاویه‌ها برابر 60 درجه می‌باشند، پس مثلث متساوی‌الاضلاع است.