نكته‌ی 1 (قضيۀ سينوس‌ها): در مثلث دلخواه ABC داریم:

$\frac{a}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{b}{\operatorname{Sin}\hat{B}}=\frac{c}{\operatorname{Sin}\hat{C}}$

نكته‌ی 2 (قضيه‌ی كسينوس‌ها): در مثلث دلخواه ABC داریم:

$\left\{ \begin{matrix}
   {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\operatorname{Cos}\hat{A}  \\
   {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\operatorname{Cos}\hat{B}  \\
   {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\operatorname{Cos}\hat{C}  \\
\end{matrix} \right.$

ابتدا با توجه به نکته‌ی 1، مطابق شکل در مثلث ABK، داریم:

$\frac{BK}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{AB}{\operatorname{Sin}\underbrace{({{180}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }})}_{{{120}^{{}^\circ }}}}\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow \operatorname{Sin}\hat{A}=\frac{\sqrt{2}}{2}\to A={{45}^{{}^\circ }}$

حال با توجه به نکته‌ی 2 و مطابق شکل، خواهیم داشت:

$\begin{align}
  & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2(AB)(AC)\operatorname{Cos}{{45}^{{}^\circ }} \\ 
 & \Rightarrow B{{C}^{2}}=12+150-2(2\sqrt{3})(5\sqrt{6})(\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ 
 & \Rightarrow B{{C}^{2}}=162-60=102\Rightarrow BC=\sqrt{102} \\ 
\end{align}$