میانگین داده‌ها برابر است با

$\overline{X}=\frac{6+12+\frac{a}{2}+a+b}{5}=\frac{18+1/5a+b}{5}$

از روی نمودار داریم

$\overline{X}=\frac{3}{2}a\,\\,\,\,\sigma =\frac{5}{6}b-\frac{3}{2}a$

بنابراین

$\frac{3}{2}a=\frac{18+1/5a+b}{5}\Rightarrow 15a=36+3a+2b\Rightarrow 12a-2b=36\Rightarrow 6a-b=18$

همچنین طبق فرض سوال داریم:

$\sigma =\frac{1}{4}\overline{X}\,\,\,\,\Rightarrow \frac{5}{6}b-\frac{3}{2}a=\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}a\,\,\,\Rightarrow \frac{5}{6}b=\frac{3}{8}a+\frac{3}{2}a=\frac{15}{8}a\Rightarrow \frac{1}{6}b=\frac{3}{8}a\Rightarrow b=\frac{18}{8}a=\frac{9}{4}a$

بنابراین

$6a-b=18\Rightarrow 6a-\frac{9}{4}a=18\Rightarrow \frac{15}{4}a=18\Rightarrow a=\frac{18\times 4}{15}=\frac{6\times 4}{5}$

لذا

$\sigma =\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}a=\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}\times \frac{6\times 4}{5}=\frac{18}{10}=1/8$