میدانیم پیوستگی تابع در $x=1$، شرط لازم برای مشتقپذیری است، لذا:
$\displaystyle{\lim_{x \to 1}} f\left( x \right)= \left( x-1 \right)\left| x-1 \right|=0,f\left( 1 \right)=a$
پس باید $a=0$ باشد. حال مشتق تابع را در $x=1$ بررسی میکنیم:
${f}'\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1}} \frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}= \displaystyle{\lim_{x \to 1}} \frac{\left( x-1 \right)\left| x-1 \right|-0}{x-1}= \displaystyle{\lim_{x \to 1}} \left| x-1 \right|=0$
پس تابع به ازای $a=0$، در $x=1$ مشتقپذیر است.