خروج از مرکز بیضی $\frac{4}{5}$ است، پس:

 $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\Rightarrow c=\frac{4}{5}a$

تفاضل طول اقطار بیضی، یعنی $2a-2b$ که برابر $8$ شده است، بنابراین:

$2(a-b)=8\Rightarrow a-b=4$

با جایگزینی در رابطهٔ ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ داریم:

$\begin{align}
  & {{a}^{2}}-{{(\frac{4}{5}a)}^{2}}={{(a-4)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}-\frac{16}{25}{{a}^{2}}={{a}^{2}}-8a+16 \\
 & \Rightarrow \frac{16}{25}{{a}^{2}}-8a+16=0\xrightarrow{\times 25}16{{a}^{2}}-200a+400=0 \\
 & \xrightarrow{\div 8}2{{a}^{2}}-25a+50=0\Rightarrow (2a-5)(a-10)=0 \\
 & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   a=\frac{5}{2}\,\,ghalat  \\
   a=10\xrightarrow{a-b=4}b=6  \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}$

 $a=\frac{5}{2}$ غیرقابل‌قبول است، زیرا اگر در $a-b=4$ قرار دهیم، $b=-\frac{3}{2}$ می‌شود. واضح است که طول قطر کوچک نمی‌تواند $-3$ باشد!

چهارضلعی $AB{A}'{B}'$ لوزی است و مساحت آن از نصف حاصل‌ضرب قطر بزرگ $2a$ در قطر کوچک $2b$ به دست می‌آید:

$S=\frac{2a\times 2b}{2}=2ab=2\times 10\times 6=120$